WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Алгебраїчні розширення числових полів - Реферат

Алгебраїчні розширення числових полів - Реферат

такі дії:
1. Якщо degq?n, то замінити q( ) числом r( ), де r( ) - остача від ділення q(x) на f(x).
2. Знайти многочлени та , які задовольняють рівність (4).
3. Обчислити і подати дріб у вигляді (5).
Приклад.
f(x)=x3-2 x=
p(x)=x+4
q(x)=2-x
degqЗнайдемо та , такі що (x3-2)+ (2-х)=1.
_x3-2
x3-2x -x+2
-x2-2x-4
_2x2-2
2x2-4x
_4x-2
4x-8
6
_-x+2
-x 6
- x+
_2
2
0
x3-2=(-x+2)(-x2-2x-4)+6
-x+2=6 x+
6=(x3-2)+(x2+2x+4)(-x+2)
1= (x3-2)+ х2+ х+ (-x+2)
Зробивши розрахунки, одержимо: = , = х2+ х+ . Тому =( +4) .
4.
Теорема 1 і наведені приклади свідчать про те, що числа поля Р( ) мають особливий вид: вони являють собою суму виду =с0+с1 +с2 2+...+сп-1 п-1, де кожний член є добутком елемента ck поля Р на елемент k (k=0,1,2,...,n-1) поля Р( ). Тобто можна сказати, що довільний елемент поля Р( ), де - корінь незвідного в полі Р многочлена степеня п, є лінійною комбінацією елементів 1, , 2,..., n-1 з коефіцієнтами з поля Р. Оскільки сума елементів Р( ) і добуток їх на числа з поля Р є знову елементи поля Р( ), то Р( ) можна розглядати як лінійний простір над полям Р.
Покажемо, що сукупність чисел 1, , 2,..., n-1 є лінійно незалежною системою елементів відносно поля Р. Дійсно, запишемо рівність: a01+a1 +...+an-1 n-1=0, де ai P. Якщо ця рівність справджується, коли не всі ai дорівнюють 0 (тобто 1, , 2,..., n-1 - лінійно залежні), то це означає що є коренем деякого многочлена =a0+a1x+...+an-1xn-1 з коефіцієнтами з поля Р, степінь якого не первищує п-1. Але це неможливо, бо многочлен f(x) степеня п є мінімальним многочленом числа .
Отже, якщо - алгебраїчне число п-го степеня відносно поля Р, то елементи розширення P( ) є лінійними комбінаціями (з коефіцієнтами з поля Р) елементів лінійно незалежної відносно Р системи 1, , 2,..., n-1.
Означення: розширення поля Р називається скінченним, якщо в полі існує така лінійно незалежна відносно поля Р система елементів 1, 2,..., n, що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля Р: =a1 1+a2 2+...+an n.
Система елементів 1, 2,..., n називається базисом поля відносно поля Р.
Базис скінченого розширення можна вибрати не одним способом. Проте всі базиси поля мають те саме число елементів п. Число п називається степенем розширення над полем Р і позначається ( :Р). Ясно, що ( :Р) є розмірністю лінійного простору над полем Р.
Степінь п скінченого розширення над полем Р дорівнює максимальному числу елементів поля , які можуть утворювати лінійно незалежну систему (і навпаки).
Приклад. поле Q( ) чисел виду a+b , де a, b - довільні раціональні числа. Є розширенням поля Q степеня 2, бо існує базис поля Q( ) відносно поля Q. Який містить два елементи. Наприклад, 1 і , або 1+ і 1- , або взагалі два числа a1+b1 i a2+b2 , щоб тільки система цих чисел була лінійно незалежною відносно Q, тобто щоб .
Не кожне розширення поля є скінченим. Наприклад поле R дійсних чисел є розширенням поля Q раціональних чисел. однак це розширення не є скінченим, бо в ньому не існує скінченого базису, через який лінійно виражалося б будь-яке дійсне число.
Розширення першого степеня над полем Р просто збігається з полем Р.
5.
Розширення поля Р, утворене за допомогою кількох послідовно виконаних простих алгебраїчних розширень, називається складним алгебраїчним розширенням поля Р. Позначається Р( )( )...( ). Це означення не слід змішувати із символом Р( , ,..., ), який позначає розширення поля Р, утворене одночасним приєднанням до нього чисел , ,..., .
Означення. Розширення поля Р називається алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля Р.
Усі раніше введені типи розширень (просте і складне, скінчене) належать до алгебраїчних. Розширення, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.
Приклад. поле дійсних чисел R - трансцендентне розширення поля Q раціональних чисел.
З'ясуємо співвідношення між деякими типами розширень.
Теорема 2. Просте алгебраїчне розширення Р( ), утворене з Р приєднанням алгебраїчного (відносно Р) числа , є скінченим розширенням поля Р. Степінь розширення Р( ) над полем Р дорівнює степеню числа відносно Р.
Доведення. Дійсно, в теоремі 1 доведено, що довільне число можна подати у виді =с0+с1 +с2 2+...+сп-1 п-1. Крім того, ми вже довели, що елементи 1, , 2,..., n-1 є базисом поля Р( ) відносно поля Р. Отже, Р( ) - скінчене розширення числового поля Р степеня п. Теорему доведено.
Як наслідок: степінь будь-якого квадратичного рівняння числового поля дорівнює 2. Наступне твердження наводимо без доведення із-за його громіздкості.
Теорема 3. Складне алгебраїчне розширення поля Р є також скінченим розширенням цього поля.
Теорема 4. Будь-яке скінчене розширення поля є його алгебраїчним розширенням.
Доведення. Нехай Р1 - скінчене розширення п-го степеня поля Р. Отже, будь-які п+1 елементів у полі Р є лінійно залежними відносно Р. Тому, якщо взяти в Р1 довільний елемент і за його допомогою скласти п+1 елементів 1, , 2,..., n, то ця система елементів є лінійно залежною відносно Р, тобто існують такі ai P, з яких не всі дорівнюють 0, що справджується рівність a0+a1 +a2 2+...+an-1 n-1+an n=0. Отже, є коренем деякого многочлена f(x)=anxn+...+a1x+a0 з коефіцієнтами з поля Р, тобто є алгебраїчним числом відносно поля Р. Теорему доведено.
Отже, із теорем 2, 3, 4: кожне просте і складне алгебраїчне розширення числового поля Р є алгебраїчним розширенням цього поля.
Теорема 5. Розширення Р( , ,..., ), утворене з Р одночасним приєднанням алгебраїчних відносно Р чисел , ,..., , збігається із складним алгебраїчним розширенням Р( )( )...( ).
Теорема 6. Будь-яке скінчене розширення поля Р є складним алгебраїчним розширенням цього поля.
Теорема 7. Будь-яке складне алгебраїчне розширення =Р( )( )...( ) поля Р є простим розширенням цього поля, тобто існує таке число , алгебраїчне відносно Р, що =Р( ).
Отже, як наслідок: скінчене розширення поля Р є не тільки алгебраїчним, але простим алгебраїчним розширенням цього поля.
Розширення Р( , ,..., ) називається алгебраїчно породженим.
Отже, ми розглянули 5 класів розширень числового поля Р:
K1 - прості алгебраїчні розширення
K2 - складні алгебраїчні розширення
K3 - скінченні розширення
K4 - алгебраїчно породжені розширення
K5 - алгебраїчні розширення.
(теорема 2)
(теорема 3)
(теорема 4)
(теорема 5)
(теорема 6)
(теорема 7)
Зрозуміло, що K2=K3 (теорема 3, теорема 5), K1=K2 (теорема 7 і очевидно , K2=K4 (теорема 5). Отже, K1=K2=K3=K4. Отже, поняття простого, складного алгебраїчного розширень, алгебраїчно породженого розширення і скінченого розширення по суті збігаються. Різні за способом побудови, всі вони являютьсобою ту саму алгебраїчну структуру.
Loading...

 
 

Цікаве