WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Алгебраїчні розширення числових полів - Реферат

Алгебраїчні розширення числових полів - Реферат


Реферат на тему:
Алгебраїчні розширення числових полів
Скінченні та алгебраїчні розширення числових полів
1. Поняття алгебраїчного і трансцендентного чисел.
Означення: Число називається алгебраїчним відносно числового поля Р, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем Р.
Число, яке не є алгебраїчним відносно поля Р, називається трансцендентним відносно поля Р.
Приклад: Будь-яке раціональне число алгебраїчне, бо його можна розглядати як корінь многочлена f(x)=x- з раціональними коефіцієнтами (бо f( )= - =0).
Проте ірраціональні числа теж можуть бути алгебраїчними.
Приклад: числа , алгебраїчні, бо вони є коренями многочленів x2-2 i x3-7 відповідно над полем Q.
Однак не всі ірраціональні числа алгебраїчні. Числа , lg2, і інші - є трансцендентними.
Нехай - корінь незвідного многочлена степеня п над полем Р: f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0. (1)
Такий зведений многочлен f(x) - єдиний незвідний многочлен над полем Р, який має своїм коренем, а його степінь п найнижчий серед степенів усіх многочленів з коренем . Це видно із того, що будь-який інший многочлен g(x) над полем Р, коренем якого є , (внаслідок незвідності f(x)) ділиться на f(x) і тому має степінь не нижчий за п (взаємно простими f(x) i g(x) бути не можуть, бо внаслідок спільності кореня вони мають спільний множник х- ).
Означення: Зведений многочлен f(x), незвідний у полі Р, який має своїм коренем, називається мінімальним многочленом числа , а його степінь п - степенем алгебраїчного числа відносно поля Р.
Приклад:
1. Мінімальним полем, яке містить число 1, є поле раціональних чисел Q, оскільки поле Q належить усім числовим полям, а (з другого боку) ніяке ірраціональне число не може належати всім числовим полям, бо воно не належить числовому полю Q.
2. Мінімальним полем, що містить число , є поле Q( ) чисел виду а+b , де a, b - довільні раціональні числа.
Дійсно, ця числова множина утворює поле, яке містить (при a=0, b=1). З другого боку, кожне інше поле, яке містить , повинно містити і все поле Q( ), бо разом із раціональними числами і числом до нього входять всі числа a+b , що результатами додавання і множення даних чисел.
Нехай Р - деяке числове поле і - число, яке не належить цьому полю ( Р). Розглянемо мінімальне поле Р( ), яке містить і поле Р і число . Р( ) є мінімальним розширенням поля Р, яке містить число .
Аналогічно можна розглядати розширення Р( 1, 2,..., k), утворене приєднанням кількох чисел 1, 2,..., k до поля Р, тобто мінімальне поле, яке містить як Р, так і числа 1, 2,..., k: Р{P, 1, 2,..., k}. Розширення, утворене приєднанням одного числа, називається простими.
Приклад: Поле чисел виду a+b (a, b - раціональні) є простим розширенням поля раціональних чисел, утвореним приєднанням числа .
Означення: Поле Р( ), утворене приєднанням до поля Р числа , алгебраїчного відносно поля Р, називається простим алгебраїчним розширенням поля Р.
Будова простого алгебраїчного розширення характеризується теоремою.
Теорема 1. Поле Р( ), утворене з поля Р приєднанням кореня многочлена п-го степеня f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0, складається з усіх чисел виду =c0+c1 +c2 2+...+cn-1 n-1 (2), де c0, c1,...,cn-1 - довільні числа з поля Р.
Доведення:
Спочатку доведемо, що всі числа виду (2) утворюють поле. Той факт, що сума і різниця чисел виду (2) є числом такого ж виду - очевидний. Розглянемо добуток і частку. Ясно, що число виду (2) можна розглядати як результат підстановки замість х у деякий многочлен q(x) над полем Р не вище п-1 степеня : .
Нехай маємо два числа , . Тоді добуток , де q(x) - многочлен, степінь якого вже може перевищувати п-1. Поділимо q(x) на f(x). Маємо: q(x)=f(x)? +r(x) (3), де степінь остачі r(x) менший за степінь f(x), тобто не перевищує п-1. Підставивши у вираз (3), одержимо q( )=r( ) (бо f( )=0), тобто , або і добуток чисел і є числом виду (2), бо r(x) - многочлен степеня ? п-1.
Розглянемо частку. Тут досить показати, що для будь-якого числа ? 0 виду (2) теж буде числом виду (2) (бо при множенні q( ) на якесь t( ) буде многочлен того ж виду). Оскільки f(x) - незвідний у полі Р многочлен, то многочлен q(x) або взаємно простий з f(x), або ділиться на f(x). але другий випадок неможливий, бо q(x) має степінь, менший ніж степінь мінімального многочлена f(x). Тому (f, g)=1.
Отже, існує єдина пара многочленів і таких, що справджується тотожність f(x)? +q(x)? =1. Підставивши х= і врахувавши, що f( )=0, одержимо q( )? =1, тобто . Отже, . Якщо многочлен має степінь, менший за п, то твердження доведено. Якщо ж має степінь, не менший за п, то ділимо на многочлен f(x), тобто =f(x)? +r(x), звідси =r( )= , і степінь r(x) менший за степінь f(x). Отже, є числом виду (2).
Отже, числа виду (2) утворюють поле Р1. Доведемо, що Р1=Р( ). Оскільки поле Р1 містить як поле Р, так і число , то воно містить і Р( ), яке за означенням є мінімальним полем з такими властивостями, тобто Р1 Р( ).
З другого боку, будь-яке поле, яке включає і поле Р, повинно включати і всі числа виду (2), які утворюються з чисел поля Р і числа за допомогою дій множення і додавання. Отже, Р( ) Р1. Звідси Р1=Р( ). Теорема доведена.
Наслідок. Якщо - корінь многочлена другого степеня над полем Р f(x)=x2+px+q, причому Р, то просте алгебраїчне розширення Р( ) поля Р, утворене приєднанням числа , складається з усіх чисел виду a+b , де a, b - довільні числа з поля Р.
Приклад. Поле Q( ) утворене приєднанням до поля Q кореня незвідного в полі Q многочлена другого степеня f(x)=x2-2. Елементи поля Q( ) мають вигляд a+b , де a, b - раціональні числа.
Означення: Якщо корінь квадратного тричлена над полем Р не належить полю Р, то просте алгебраїчне розширення Р( ), утворене з поля Р приєднанням до нього числа , називається квадратичним розширенням поля Р.
Приклад. розглянуте вище поле Q( ) є квадратичним розширенням поля Q раціональних чисел, утворене приєднанням кореня многочлена f(x)=x2-2.
3.
Нехай дано дріб , де p(x) i q(x) - многочлени над полем Q, а - ірраціональний корінь незвідного многочлена f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0 з раціональними коефіцієнтами (звичайно, q( )?0).
Щоб позбутись ірраціональності в знаменнику, треба виконати такі тотожні перетворення. Хід цих перетворень випливає із самого доведення теореми 1.
Якщо degq?n, то, поділивши q(x) на f(x) з остачею, одержимо рівність q(x)=f(x)s(x)+r(x). Підставимо значення x= , одержимо q( )=r( ), а тому = , де degrНехай тепер та - такі многочлена над полем Q, що f(x)? +q(x)? =1. (4) Оскільки f( )=0, то і тоді =р( )? (5), тобто ірраціональності в знаменнику немає. Отже, щоб позбутися ірраціональності в знаменнику дробу , де - корінь незвідного многочлена f(x),треба здійснити
Loading...

 
 

Цікаве