WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії - Курсова робота

Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії - Курсова робота


Звідси випливає, що якщо в плоскому чотирикутнику сума квадратів діагоналей рівна сумі квадратів всіх його сторін, то чотирикутник - паралелограм.
1.7. Формули Ейлера і Муавра та їх застосування
Справедлива рівність . (1.10)
Формулу (1) називають формулою Ейлера. Виконуються такі властивості
, (1.11)
(1.12)
(1.13)
Покажемо це .
Отже, формула (1.11) вірна для будь-яких і . Поставивши в (1.11) , отримаємо: , а звідси випливає, що , тобто формула (1.12).
Для доведення формули (1.13) для будь-яких натуральних скористаємося методом математичної індукції. При формула (1.13) є очевидною. Нехай вона має місце для : . Покажемо, що формула (1.13) справедлива для :
.
Отже, формула (1.13) справедлива для будь-якого натурального . Нехай - ціле від'ємне число, тобто , де - натуральне число.
Отже формула (1.13) справедлива для будь-якого . Її називають формулою Муавра. Відома інша форма запису: . З формули Ейлера випливає дві формули які виражають і через уявні експоненти:
. (1.14)
Додаючи формули (1.10) і (1.14) отримаємо:
,
які рівносильні формулам: , .
Формули Ейлера і Муавра дозволяють ефективно розв'язувати різні задачі, яки пов'язані з тригонометричними функціями. Їх можна використовувати при обчисленні різних тригонометричних сум, з якими доводитьсязустрічатися в різних прикладних дисциплінах. Загальний принцип обчислення таких сум полягає в тому, що дану дійсну суму замінюють деякою комплексною сумою, яку обчислюють за допомогою використання формул суми членів геометричної прогресії.
Наприклад: Обчислити суму: , де
,
.
За формулами Ейлера і Муавра маємо:
Обчислимо за формулою суми членів геометричної прогресії: .
Для того щоб знайти і достатньо з виділити дійсну і уявну частину.
Отже, , .
Формули Ейлера можна використовувати також при вивченні коливальних процесів. Розглянемо два гармонічні коливання точки з одною частотою :
де - амплітуди коливань, а - початкові фази.
Покажемо, що при додаванні гармонічних коливань отримаємо гармонічне коливання з такою ж частотою .
Цю суму можна розглянути як уявну частину комплексного суми , тобто .
Запишемо комплексне число в показниковій формі : = . Тоді . Отже, - частота гармонічного коливання , - його амплітуда.
Позначимо різницю початкових фаз через . Обчислимо амплітуду отриманого гармонічного коливання. Враховуючи, що , отримаємо: Дана формула показує, що максимальна амплітуда результуючого коливання рівна (при ) , тобто тоді коли початкові фази в двох коливаннях однакові. Якщо і , то при додаванні коливань точка залишиться в стані спокою.
1.8. Показникова форма комплексного числа
Ми розглядали тригонометричну форму запису комплексного числа: .
Формула Ейлера дозволяє записати комплексне число в компактній формі: , де - аргумент числа, а - його модуль. Це так звана показникова форма запису комплексного числа. Для отримання показникової форми запису комплексного числа не потрібно попередньо записувати його в тригонометричній формі.
Якщо маємо показникову форму запису комплексного числа, то можна вказати його модуль і аргумент.
Розглянемо, якими будуть модуль і аргумент при множенні і діленні двох комплексних чисел, відмінних від нуля.
Нехай Запишемо кожний із множників в показниковій формі: , . Тоді .
Отже, при множенні двох комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються. Методом індукції можна показати, що це правило є справедливе для будь-якої кількості множників.
В випадку однакових множників отримуємо наступне правило: при піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником його модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня.
Нехай тепер .
Записавши множники в показниковій формі отримаємо: .
Отже, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.
1.9. Комплексний множник як оператор
Нехай маємо на площині деякий вектор (мал.2), а - його комплексна координата. Повернемо цей вектор навколо його початку на кут (проти годинникової стрілки, якщо >0 , або за годинниковою стрілкою, якщо 3 (наприклад, чи п'ятикутника семикутника), якщо відомі його сторони і кути? Відповідь на подібні питання підказують комплексні числа. Заради конкретності обмежимося випадком опуклого п'ятикутника (міркування у випадку довільного п-кутника аналогічні)
Надалі ми скористаємося декількома зауваженнями, що легко перевіряються.
I. Уявна частина суми декількох комплексних чисел дорівнює сумі уявних частин доданків.
II. Нехай р и q - два яких-небудь комплексних числа, Ф и ? - їхні аргументи. Тоді
(2.27)
Дійсно, легко підрахувати, що
;
звідси випливає рівність (2.27).
III. Нехай розташований на комплексній площині; р и q - комплексні координати векторів і , причому . Тоді площа трикутника OPQ (будемо її позначати: (OPQ)) зв'язана з числами р и q залежністю:
(2.28)
Для доказу досить у (2.27) покласти , і врахувати, що тоді права частина в (2.27) - це подвоєна площа .
IV. Нехай у вектори , і мають відповідно комплексні координати р, q і m, причому . Тоді
(2.29)
Справді, нехай q - комплексна координата вектора . Тоді
Література
1. Балк М. Б., Виленкин Н. Я., Петров В. А. Математический анализ. Теория аналитических функций.- М.: Просвещение, 1985.- 160 с.
2. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках.- М.: Наука, 1985.- 191 с.
3. Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джироламо Кардано.- М.: Знание, 1980.- 191 с.
4. Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа.- М.: Наука, 1973.- 144 с.
5. Кострикин А. И. Введение в алгебру.- М.: Наука, 1977.- 495 с.
6. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения.- М.: Наука, 1979.- 56 с.
7. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций.- М.: Просвещение, 1977.- 320 с.
8. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел.- М.: Наука, 1986.- 117 с.
9. Яглом И. М. Комплексные числа и их применения в геометрии.- М.: Физматгиз, 1963.- 192 с.
Loading...

 
 

Цікаве