WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії - Курсова робота

Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії - Курсова робота

називається число , таке що .Тоді можна записати що .
Закон 4. Комплексні числа скорочено можна записати так: .
Комплексні числа виду називають дійсними, а числа виду - чисто уявними; число 0 - єдине комплексне число, яке одночасно являється і дійсним і чисто уявним.
Комплексні числа виду , де часто називають уявними. Закони 1-4 забезпечують для комплексних чисел збереження основних законів арифметики для дійсних чисел. Серед дійсних чисел немає такого числа , яке задовольняє нерівність . В той же час рівність показує, що серед комплексних чисел корінь такого рівняння існує. Таким числом являється . Легко показати, що другим коренем такого рівняння є число ( ). Запишемо формули для натуральних степенів числа : .
1.3. Ділення комплексних чисел
Частка двох комплексних чисел знаходиться як розв'язок рівняння
(1.7)
Якщо , , то , то рівняння (1.7) можна переписати у вигляді :
(1.8)
або .
Для знаходження дійсної та уявної частини отримаємо таку систему з двох рівнянь з двома невідомими:
(1.9)
Розв'язуючи цю систему, легко знайти , , а отже і число . Отже, ми отримали, що ділення на будь-яке комплексне число, відмінне від нуля, завжди є можливим і при цьому однозначним.
Означення: два комплексні числа, у яких дійсні частини рівні, а уявні являють собою протилежні числа, називаються спряженими.
Число спряжене до числа позначають . Якщо , то .
Означення: модулем комплексного числа називається невід'ємне число , яке задається формулою , і позначають .
Отже .
Твердження: для будь-якого комплексного числа справедлива рівність , тобто добуток двох спряжених комплексних чисел завжди являється дійсним невід'ємним числом і рівний квадрату їх модуля.
Для знаходження частки від ділення двох комплексних чисел достатньо записати цю частку у вигляді дробу, а потім помножити її чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника. Обчисливши отримане рівняння легко відділити дійсну і уявну частини. Тобто: .
Для знаходження числа, спряженого до результату якої-небудь арифметичної операції над комплексними числами, достатньо спочатку опустити знак спряження на кожне із чисел даної операції, а потім над отриманими спряженими числами виконувати вказану операцію.
Зауваження 1: сума двох спряжених чисел - завжди дійсне число, а їх різниця - чисто уявне число.
Зауваження 2: вираз "число - дійсне" рівносильний формулі , а вираз "число - чисто уявне" - формулі .
1.4. Комплексні координати точок і векторів
Візьмемо на площині декартову систему координат (мал.1). Нехай Z- деяка точка на площині. Її положення визначається двома дійсними числами . Поставимо у відповідність точці Z комплексне число . Це комплексне число будемо називати комплексною координатою точки Z. І на оборот, кожному комплексному числу на декартовій площині відповідає визначена точка Z. Враховуючи це, можна сказати, що комплексне число - це точка на площині.
Точки осі абсцис і тільки вони, мають своїми комплексними координатами дійсні числа, тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Точки осі ординат і тільки вони мають своїми координатами чисто уявні числа. Тому вісь ординат називають уявною віссю. А всю площину, яка служить для наочного тлумачення комплексних чисел, називають комплексною числовою площиною і позначають буквою C. Комплексною координатою початку координат O являється число нуль. В зв'язку з цим початок координат називають нульовою точкою комплексної площини.
Виберемо на координатній площині який-небудь вектор . Розглянемо рівний йому вектор з початком в нульовій точці. Нехай кінець цього вектора має комплексну координату . Тоді число будемо називати комплексною координатою вектора . Звідси бачимо, що: 1) рівні вектори мають одну і ту ж комплексну координату; 2) комплексна координата вектора з початком в початку координат співпадає з координатою його кінця. Можна сказати так: якщо проекція деякого, розміщеного на декартовій площині, вектора на вісь абсцис рівна , а його проекція на вісь ординат рівна , то комплексною координатою вектора називається число . Справедливі такі твердження:
1.При додаванні векторів їх комплексні координати додаються;
2.Комплексна координата напрямленого відрізка рівна різниці між комплексною координатою його кінця і комплексною координатою його початку;
3.Комплексна координата середини рівна півсумі комплексних координат його кінців;
1.5. Модуль, аргумент, тригонометрична форма комплексного числа
З кожним комплексним числом пов'язане поняття його модуля і аргументу. Якщо - комплексна координата вектора , то модулем цього числа називається модуль . Кут нахилу вектора до додатного напряму осі називається аргументом числа . У кожного комплексного числа відмінного від нуля, є безліч аргументів. Будь-які два із них відрізняються між собою на число, кратне . Аргумент , який знаходиться на проміжку , називається головним значенням аргументу і позначається . Точніше, - це той із аргументів числа , який задовольняє нерівність .
Нехай який-небудь із аргументів числа , а число , , тоді , . Звідси випливає тригонометрична форма комплексного числа.
.
Якщо відомо про числа і , що їх модулі рівні і , а числа і є їх аргументами, то рівність має місце тільки при , де . Іншими словами, два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи відрізняються на число кратне .
1.6. Геометричний зміст модуля різниці
Нехай і - дві точки на комплексній площині, які мають комплексні координати відповідно і . Розглянемо вектор і позначимо його комплексну координату через . , відповідно . Але - це довжина вектора . Тому число геометрично можна тлумачити як відстань між точками з комплексними координатами і .
Твердження 1: модуль суми двох комплексних чисел і не перевищує суми модулів цих чисел: .
Твердження 2: для будь-яких комплексних чисел і справедлива рівність .
Теорема Ейлера: сума квадратів сторін будь-якого плоского чотирикутника більша суми квадратів його діагоналей на чотири квадрати відрізка, який сполучає середини діагоналей.
Loading...

 
 

Цікаве