WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії - Курсова робота

Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії - Курсова робота


Курсова робота
Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних чисел в геометрії
План
І. Комплексні числа і їх найпростіші застосування 3
1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел 3
1.2. Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел 5
1.3. Ділення комплексних чисел 6
1.4. Комплексні координати точок і векторів 8
1.5. Модуль, аргумент, тригонометрична форма комплексного числа 9
1.6. Геометричний зміст модуля різниці 10
1.7. Формули Ейлера і Муавра та їх застосування 10
1.8. Показникова форма комплексного числа 13
1.9. Комплексний множник як оператор 14
1.10. Комплексні числа в геометричних побудовах. Комплексні
числа і центр мас 17
ІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії 20
2.1. Прямі на комплексній площині 20
2.2 Коло на комплексній площині
2.3. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного
кола 22
2.4. Геометричні застосування визначників з комплексним
елементами 23
2.5. Корені з комплексних чисел 24
2.6. Уявні числа і плоскі многокутники 26
2.6.1. Побудова правильних многокутників 28
2.6.2. Уявні числа і площа многокутника 32
Література 34
І. Комплексні числа і їх найпростіші застосування
1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел
Уявні числа зобов'язані своїм народженням цілком реальній задачі - задача розв'язання рівняння третього степеня.
Корені рівняння :
(1.1)
можуть бути обчислені за формулою, яку називають формулою Кардано:
,
де D= (
Ця формула не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1.1) має три різні (дійсні) корені. Наприклад, легко перевірити, що коренями рівняння будуть числа 0,1,-1.Але якщо б ми розв'язали це рівняння за формулою Кардано . то отримали б :
Яким чином можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам 16-17ст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.
Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими величинами Вважалося що вони не мають реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх "гібридом між буттям і небуттям".
Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків 17-18 ст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду
(1.2)
Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (1.2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У 18 столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду
(1.3)
де -постійні числа.
Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де -константа, -час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння
(1.4),
де - ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.
Протягом останніх двохсот років комплексні числа знайшли чисельні застосування. Так, наприклад, за допомогою комплексних чисел Гаусс в 1796році зумів найти відповідь на геометричне питання: при яких натуральних значеннях можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник?
Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв'язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.
1.2. Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел
Протягом довгого часу комплексні числа вводились з допомогою такого твердження: "рівняння немає коренів, корінь з не існує. Позначимо цей вираз через і будемо розглядати числа виду , де -дійсні числа". В 1933 році ірландський математик У.Р.Гамільтон пояснив, що таке комплексні числа. Його підхід до побудови теорії комплексних чисел можна подати так. Розглянемо всі можливі пари звичайних чисел взятих у визначеному порядку. Кожну таку упорядковану пару називають комплексним числом. Для запису комплексного числа можна запропонувати кілька способів: . В математиці прийнято позначати (1.5). Значок застосовується для того, щоб як-небудь відрізняти одне звичайне число з пари від другого. Знак не говорить про додавання, він тільки вказує на те що ми об'єднуємо два дійсних числа в щось єдине. Для цього позначимо (1.5) деякою буквою z: (1.6). Перше дійсне число, яке входить в цю пару(число ), називається дійсною частиною числа , і позначають так: . Друге дійсне число із пари (1.6) (число ) називається уявною частиною комплексного числа і позначають . По даному визначенню уявна частина будь-якого комплексного числа - це завжди деяке дійсне число. Щоб пару (1.6) можна було вважати числами, потрібно попередньо означити правила їх порівняння та арифметичні дії над ними Введемо для комплексних чисел такі закони.
Закон 1. Два комплексні числа вважаються рівними в тому випадку, якщо вони мають однакові дійсні і уявні частини:
Закон 2. Додавати, віднімати і множити комплексні числа потрібно так, як многочлени відносно змінної ; при цьому потрібно враховувати що
Якщо то
Закон 3. Ділення комплексних чисел можна визначити як дію, обернену до множення: ділення комплексного числа на число
Loading...

 
 

Цікаве