WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Принцип математичної індукції. Підстановки. Основні алгебраїчні структури - Реферат

Принцип математичної індукції. Підстановки. Основні алгебраїчні структури - Реферат

переходить в і4, то при підстановці АВ символ і1 переходить в і3, при підстановці ВС символ і2 переходить в і4, тому при обох підстановках (АВ)С та А(ВС) символ і1 переходить в символ і4.
Ясно, що для будь-якої підстановки А: АЕ=ЕА=А.
Оберненою для підстановки А називається така підстановка А-1 того ж степеня, що АА-1 = А-1А = Е.
Очевидним є те, що оберненою для підстановки A= є підстановка А-1= , отримана із А переставленням нижнього і верхнього рядків.
Циклічною підстановкою або циклом довжиною k називається така підстановка, при повторенні якої k разів кожен з її символів переходить в себе.
Приклад.
підстановка 8-го степеня має цикл (2836) довжиною 4.
§3.Основні алгебраїчні структури
а)Група
Непорожня множина із визначеною в ній бінарною операцією , називається групоїдом. Групоїд, в якому визначена асоціативна операція, називається півгрупою. Півгрупа, в якій існує одиничний (нейтральний) елемент, називається моноїдом. Одиничний елемент позначають е: для будь-якого g G [g e = e g = g]. Моноїд, кожен елемент якого оборотний, називається групою. Оборотним називається такий елемент множини, для якого в цій множині існує обернений. Оберненим до елемента g G називається такий елемент g-1 цієї ж множини, для якого g g-1= g-1 g = e.
Повне означення групи.
Непорожня множина G, на якій визначено бінарну операцію , називається групою, якщо виконуються наступні умови:
1) операція асоціативна;
2) в множині G існує одиничний елемент ;
3) кожний елемент g G множини G оборотний.
Якщо операція , визначена в групі, є комутативною, то група G називається комутативною або абелевою.
Група G називається скінченною, якщо кількість її елементів (порядок групи) скінченна.
Приклади.
1. Множини цілих, раціональних, дійсних чисел відносно додавання: (Z,+), (Q,+), (R,+).
2. Множини всіх додатніх раціональних, дійсних чисел відносно множення : (Q+,o), (R+,o).
3. Сукупність чисел 1 та -1 утворюють групу за множенням: ({1;-1},o).
4. Множина всіх підстановок n-го степеня відносно операції множення (симетрична група, позначають Sn).
5. Множина всіх парних підстановок n-го степеня відносно множення (знакозмінна група, позначають Аn).
Групу за додаванням називають адитивною, за множенням - мультиплікативною.
Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.
Перевірка того, чи непорожня підмножина Н групи G є підгрупою групи G, включає:
1) чи містить Н разом із будь-якими своїми елементами g1 та g2 і результат операції між ними, тобто елемент g1 g2;
2) чи містить Н разом із будь-яким своїм елементом g і обернений йому елемент g-1.
Теорема (про перетин підгруп).
Якщо Н1 і Н2 - підгрупи групи G, то їх перетин Н1 Н2 теж є підгрупою групи G.
Доведення.
Якщо елементи a i b належать перетину Н1 Н2, то вони містяться в кожній з підгруп Н1 та Н2, тому елементи ab та a-1 теж містяться в кожній з підгруп, а тому і в їх перетині. Отже, Н1 Н2 - теж підгрупа групи G.?
Підгрупа, що складається з усіх степенів елемента g G, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом g. Позначається .
Група G називається циклічною, якщо вона складається тільки зі степенів одного із своїх елементів g, тобто збігається з однією із своїх циклічних підгруп . Елемент g називають твірним елементом циклічної групи . Кожна циклічна група є абелевою.
Приклади.
1. Адитивна група Z цілих чисел - нескінченна циклічна група з твірним елементом 1 (можна -1).
2. Група за множенням, що складається з 1 та -1, є циклічною групою 2-го порядку з твірним елементом -1.
Ізоморфізм груп
Групи G i G1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що коли будь-яким елементам a,b G відповідають елементи a1,b1 G1, то результату операції a b між елементами групи G відповідає результат операції a1 b1 між елементами групи G1.
Тут - позначення операції в групі G, - в групі G1.
Приклади.
1. Адитивна група Z цілих чисел ізоморфна адитивній групі G парних чисел (відображення k 2k, kєZ). (Z,+) ({2k, kєZ},+).
2. Мультиплікативна група R+ додатних дійсних чисел ізоморфна адитивній групі R всіх дійсних чисел. (R+,o) (R,+).
При ізоморфному відображенні груп G та G1:
1) одиничний елемент групи G відображається в одиничний елемент групи G1;
2) будь-яка пара взаємнообернених елементів g та g-1 групи G відображається в пару взаємнообернених елементів групи G1.
б) Кільце
Непорожня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:
1) множина К є адитивною абелевою групою;
2) множина К є мультиплікативною півгрупою;
3) операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто
a,b,cєK [(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb].
Позначається (К,+, o).
Кільце називають комутативним, якщо операція множення в кільці комутативна.
Приклади.
1. (Z,+, o), (Q,+, o), (R,+, o).
2. ({2k, kєZ},+,o).
Ненульове кільце, в якому є одиничний елемент е, називають кільцем з одиницею.
Елементи а,b кільця К називаються дільниками нуля, якщо а ?, b ?,
але ab = ?. ? - нульовий елемент кільця.
Комутативне кільце з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається цілісним кільцем (областю цілісності).
Підмножина К1 кільця К називається підкільцем кільця К, якщо К1 є кільцем відносно операцій додавання і множення, визначених в кільці К.
Перевірка того, що дана підмножина кільця є його підкільцем, включає вияснення, чи різниця й добуток довільних двох елементів підмножини К1 належить до К1.
Приклади.
1. Кільце парних чисел - підкільце кільця цілих чисел.
2. Кільце цілих чисел - підкільце кільця раціональних чисел.
3. Кільце раціональних чисел - підкільце кільця дійсних чисел.
Ізоморфізм кілець
Кільця К і К1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що для будь-яких елементів a,b К і відповідних їм елементів a1,b1 К1 сумі a+b відповідає сума a1+b1, добутку ab відповідає добуток a1b1.
в)Поле
Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, називається полем. Позначають (Р,+, o).
Поле (Р,+, o) являє собою поєднання в тій самій множині Р двох абелевих груп - адитивної (Р,+) та мультиплікативної (Р{0},o).
Приклади.
1. (Q,+, o).
2. (R,+, o).
Ясно, що ніяке поле не має дільників нуля.
Характеристикою поля Р називають:
- число нуль, якщо ne=? лише при n=0;
- натуральне число р, якщо pe = ? і немає такого кєN, меншого ніж р, що
ке = ?.
Ясно, щоненульова характеристика р поля Р є числом простим.
Підмножину Р1 поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених у полі Р. Поле Р при цьому називають розширенням поля Р1.
Loading...

 
 

Цікаве