WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Принцип математичної індукції. Підстановки. Основні алгебраїчні структури - Реферат

Принцип математичної індукції. Підстановки. Основні алгебраїчні структури - Реферат


Реферат на тему:
Принцип математичної індукції. Підстановки. Основні алгебраїчні структури
§1. Принцип математичної індукції
Аксіома математичної індукції
Нехай А - множина натуральних чисел, яка має такі властивості:
1.
2. Якщо натуральне число k належить до А, то й наcтупне число належить до А.
Тоді до А належать всі натуральні числа.
Принцип математичної індукції (основна форма)
Якщо деяке твердження Т правильне для числа 1 і якщо із припущення, що воно правильне для натурального числа k, випливає його правильність і для наступного числа , то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа n.
Доведення.
Дійсно, нехай А - множина всіх натуральних чисел, для кожного із яких твердження Т правильне. За умовою теореми , і якщо , то і наступне число . Отже, згідно аксіоми індукції множина А збігається з множиною всіх натуральних чисел. Таким чином, твердження Т виконується для будь-якого натурального числа."
Отже, щоб довести справедливість якогось твердження для довільного натурального числа п методом математичної індукції, треба:
1) довести, що це твердження справедливе для п=1;
2) припустивши справедливість даного твердження для n=k, довести його справедливість для
Іноді розглядуване твердження не має змісту, або неправильне при п=1, але стає справедливим при , або взагалі при . В цьому випадку використовується інша форма принципу математичної індукції.
Узагальнення основної форми принципу математичної індукції
Якщо деяке твердження Т правильне для певного натурального числа і якщо з припущення, що воно правильне для натурального числа , випливає його правильність і для наступного числа , то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа n.
Друга форма принципу математичної індукції
Якщо деяке твердження Т правильне для 1 і якщо з припущення, що воно правильне для всіх натуральних чисел, менших ніж k, випливає його правильність і для числа k, то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа п.
Узагальнення другої форми принципу математичної індукції
Якщо деяке твердження Т правильне для натурального числа і якщо з припущення, що воно правильне для всіх натуральних чисел, менших k, випливає його правильність і для числа k, то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа.
§2. Підстановки
а) Перестановки
Всяке розташування чисел 1,2,…,n в деякому визначеному порядку називається перестановкою із n чисел (чи n символів).
Якщо в деякій перестановці поміняти місцями якісь два символи (необов'язково сусідні), а всі решту символи залишити на місці, то отримається нова перестановка. Таке перетворення перестановки називається транспозицією.
Вважається, що числа i та j утворюють в даній перестановці інверсію, якщо i>j, але i знаходиться в цій перестановці раніше за j. Перестановка називається парною, якщо її символи утворюють парну кількість інверсій, і непарною - в протилежному випадку. Наприклад, перестановка (2,3,1,4,5) є парною (дві інверсії), а (2,3,1,5,4) - непарною (три інверсії).
Властивості:
1. Кількість різних перестановок із n символів дорівнює добутку 1·2·…·n = n!
Дійсно, загальний вигляд перестановки із n символів є i1,i2,…,in, де кожне із ik є одним із чисел 1,2,…,n, причому жодне з чисел не зустрічається двічі. В ролі i1 можна взяти довільне із чисел 1,2,…,n. Це дасть n різних варіантів. Якщо ж i1 вже вибрано, то в ролі i2 можна взяти тільки n-1 із чисел, що залишилися. Тоді кількість різних способів вибрати символи i1 та i2 дорівнюватиме n(n-1). Далі аналогічні міркування. ?
2. Від довільної перестановки із n символів можна перейти до будь-якої іншої перестановки із тих же елементів з допомогою декількох транспозицій.
Ця властивість, очевидно, випливає із того, що всі n! перестановок із символів можна розмістити в такому порядку, що кожна наступна отримана із попередньої однією транспозицією, причому починати можна з довільної перестановки. ?
3. Кожна транспозиція змінює парність перестановки.
Якщо транспоновані символи i та j є сусідніми, тобто перестановка має вигляд …, i,j,…, то в результаті транспозиції отримаємо перестановку …, j,i,…,
в якій символи i та j утворюють із нерухомими символами ті ж інверсії, що й у попередній. Від переставляння символів i та j кількість інверсій зміниться на одну (якщо інверсії не було, то з'явиться, якщо ж була, то зникне), що і змінить парність перестановки.
Якщо ж між транспонованими символами i та j розміщені s символів, тобто перестановка має вигляд …,i,k1,k2,…,ks,j,…, то транспозицію символів i та j можна отримати в результаті 2s+1 транспозицій сусідніх елементів (s для переміщення i на місце ks, 1 для переставлення місцями і та j, s для переміщення j з позиції ks на місце i), після чого утвориться перестановка …,j,k1,k2,…,ks,i,… , яка матиме протилежну парність до початкової.
4. При n 2 кількість парних перестановок із n символів дорівнює кількості непарних, тобто дорівнює n!
Дійсно, якщо впорядкувати усі перестановки із n символів так, що кожна
отримується із попередньої однією транспозицією, то сусідні перестановки матимуть протилежні парності, а число n! парне.
б) Підстановки
Дві перестановки із n символів, записані одна під одною, визначають деяке взаємно однозначне відображення множини перших n натуральних чисел на себе.
Довільне взаємно однозначне відображення А множини перших n натуральних чисел на себе називається підстановкою n-го степеня.Символічний запис:
Тут ?i - число, в яке при перестановці А переходить число i, і=1,2,…,n. Читають так: при підстановці А число і1 переходить в , і2 - в ,…, іn - в .
Від одного запису підстановки А до іншого можна перейти з допомогою декількох транспозицій стовпчиків.
Приклад.
, , .
При цьому можна отримати запис вигляду (2.1),
при якому різні підстановки відрізняються одна від одної тільки нижніми перестановками, звідки випливає, що кількість підстановок n-го степеня дорівнює кількості перестановок із n символів, тобто дорівнює n! Підстановка називається тотожньою або одиничною.
Підстановка називається парною, якщо парності верхньої і нижньої її перестановок співпадають або сума інверсій у верхній і нижній перестановках є парною. В іншому випадку підстановка непарна.
Кількість непарних підстановок n-го степеня дорівнює кількості парних, тобто дорівнює n! Цей висновок випливає із можливості запису довільної перестановки у вигляді (2.1) і властивості 4 перестановок з n елементів.
Добутком двох підстановок n-го степеня називається підстановка n-го степеня, отримана в результаті послідовного виконання даних підстановок.
Приклад.
= .
Множення підстановок n-го степеня при n 3 некомутативне.
Приклад.
=
(порівняти з попереднім).
Множення підстановок асоціативне, тобто (АВ)С=А(ВС). Дійсно, якщосимвол і1 при підстановці А переходить в і2, символ і2 при підстановці В переходить в і3, а і3 при підстановці С
Loading...

 
 

Цікаве