WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду(пошукова робота) - Реферат

Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду(пошукова робота) - Реферат

балансу.
В. Леонт'євим, на основі аналізу економіки США в період перед другою світовою війною, був встановлений важливий факт: на протязі тривалого часу величини змінюються дуже мало, а тому їх можна вважати постійними. Це явище стає зрозумілим в світлі того, що технологія виробництва залишається на одному й тому ж рівні тривалий час, а, значить, об'єм споживання ою галуззю продукції ої галузі при виробництві своєї продукції об'єму є технологічна константа.
В силу вказаного факту можна зробити таке припущення: для виробництва продукції ої галузі об'му потрібно використовувати продукцію ої галузі об'єму де постійні числа. При такому припущенні технологія виробництва приймається лінійною, а саме це припущення називається гіпотезою лінійності. При цьому числа називаються коефіцієнтами прямих затрат. Згідно з гіпотезою лінійності
(4.36)
Тоді рівняння (4.35) можна записати в матричній формі
(4.37)
де вектор-стовпець об'єму виробленої продукції (вектор валового випуску), вектор-стовпець об'єму продукції кінцевого споживання (вектор кінцевого споживання), матриця коефіцієнтів прямих затрат:
(4.38)
Переважно співвідношення (4.37) називають рівнянням лінійного міжгалузевого балансу. Разом з описанням матричного представлення (4.38) це рівняння носить назву моделі Леонт'єва.
Рівняння міжгалузевого балансу можна використовувати вдвох випадках: 1) коли відомий вектор валового випуску , а потрібно розрахувати вектор кінцевого споживання 2) з метою планування із наступним формулюванням задачі: для періоду відомий вектор кінцевого споживання і потрібно визначити вектор валового випуску.
Система (4.37) має ту особливість, що всі елементи матриці і векторів повинні бути невід'ємними.
Матриця всі елементи якої невід'ємні, називається продуктивною, якщо для довільного вектора з невід'ємними компонентами існує розв'язок рівняння (4.37) - вектор всі елементи якого невід'ємні. В такому випадку і модель Леонт'єва називається продуктивною.
Для рівнянь типу (4.37) розроблена відповідна математична теорія дослідження розв'язку і його особливостей. Приведемо без доведення важливу теорему про продуктивність матриці
Теорема. Якщо для матриці з невід'ємними елементами і деякого вектора з невід'ємними компонентами рівняння (4.37) має розв'язок з невід'ємними компонентами, то матриця продуктивна.
Очевидно, що розв'язок (4.37) має вигляд :
(4.39)
Матриця називається матрицею повних затрат.
Існує декілька критеріїв продуктивності матриці Приведемо два з них.
Перший критерій продуктивності. Матриця продуктивна тоді і тільки тоді, коли матриця існує і її елементи невід'ємні.
Другий критерій продуктивності. Матриця з невід'ємними елементами продуктивна, якщо сума елементів за довільним її стовпцем (рядком) не перевищує одиниці:
(4.40)
причому хоча б для одного стовпця (рядка) ця сума строго менша одиниці.
Приклад. 1. Дані балансу трьох галузей промисловості за деякий період записані в табл.1. Потрібно знайти об'єм валового випуску продукції, якщо кінцеве споживання за галузями збільшити відповідно до 60, 70 і 30.
Таблиця 1

п/п Галузь Споживання Кінце-вий
продукт Вало-вий випуск
1 2 3
1
2
3 Добування і переробка вуглеводів
Енергетика
Машинобуду-вання 5
10
20 35
10
10 20
20
10 40
60
10 100
100
50
Р о з в 'я з о к. Випишемо вектори валового випуску і кінцевого споживання та матрицю коефіцієнтів прямих затрат. Згідно формул (4.36) і (4.38),
Матриця задовольняє обидва критерії продуктивності. У випадку заданого збільшення кінцевого споживання новий вектор кінцевого продукту буде мати вигляд .
Потрібно знайти новий вектор валового випуску , що задовольняє співвідношенням балансу в припущенні, що матриця не зміниться. В такому випадку компоненти невідомого вектора знаходяться із системи рівнянь, яка в матричній формі має вигляд (4.37) або де матриця має вигляд
Звідси розраховується новий вектор як розв'язок рівняння
Знайдемо обернену матрицю (матрицю повних затрат ) (обчислення проводимо з точністю до третього знаку):
.
Зауважимо, що знайдена обернена матриця задовольняє першому критерію продуктивності матриці
Тепер вичислюємо вектор валового випуску
Таким чином, для того щоби забезпечити задане збільшення компонент вектора кінцевого продукту, необхідно збільшити відповідні валові випуски: добування і переробку вуглеводів на 52,2%, рівень енергетики - на 35,8% і випуск машинобудування - на 85% в порівнянні з початковими величинами, що приведені в табл.1.
4.5.2. Лінійна модель торгівлі
Процес взаємних закупок товарів аналізується з
використанням понять власного числа і власного вектора матриці. Припустимо, що бюджети країн витрачаються на покупку товарів. Розглянемо лінійну модель обміну, або модель міжнародної торгівлі.
Нехай доля бюджету яку а країна витрачає на закупку товарів у ої країни. Введемо матрицю коефіцієнтів
. (4.41)
Тоді, якщо весь бюджет витрачається тільки на закупки всередині країни і зовні неї (це можна трактувати як торговий бюджет), справедлива рівність
(4.42)
Матриця (4.41) із властивістю (4.42) називається структурною матрицею торгівлі. Для ої країни загальна виручка від внутрішньої і зовнішньої торгівлі виражається формулою
(4.43)
Умова збалансованої (бездефіцитної) торгівлі формулюється природнім чином: для кожної країни її бюджет повинен бути не більшим за виручку від торгівлі, тобто або
(4.44)
Покажемо, що в умові (4.44) можливий тільки знак рівності. Дійсно, додавши всі ці нерівності і згрупувавши доданки з величинами бюджетів одержимо
Неважко замітити, що в дужках стоять суми елементів матриці за її стовпцями , що дорівнюють одиниці згідно умови (4.42). Отже, ми одержали нерівність а це означає, що можливий тільки знак рівності.
Таким чином, із (4.44) ми одержимо
(4.45)
В матричній формі систему рівнянь (4.45) запишеться так:
або (4.46)
де вектор бюджетів, кожна компонента якого характеризує бюджет відповідної країни. Це рівняння означає, що власний вектор структурної матриці що відповідає її власному значенню складається із бюджетів країн бездефіцитної міжнародної торгівлі.
Приклад 2. Структурна матриця торгівлі чотирьох країн має вигляд
Знайти бюджети цих країн, що задовольняють збалансованій бездефіцитній торгівлі при умові, що сума бюджетів задана:
Р о з в ' я з о к. Необхідно знайти власний вектор , що відповідає власному значенню тобтознайти ненульові розв'язки системи (4.46)
Оскільки ранг цієї системи дорівнює трьом, то одна невідома буде вільною невідомою, а інші через неї виражаються. Розв'язуючи систему методом Гаусса, знаходимо компоненти власного вектора
Підставивши знайдені значення в задану суму бюджетів, визначимо величину
Звідси остаточно отримаємо шукані величини бюджетів країн при бездефіцитній торгівлі:
Loading...

 
 

Цікаве