WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Загальні теореми множення й додавання ймовірностей - Реферат

Загальні теореми множення й додавання ймовірностей - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
Загальні теореми множення й додавання ймовірностей
ПЛАН
1. Додавання ймовірностей несумісних подій
2. Ймовірність добутку незалежних подій
3. Додавання ймовірностей довільних подій
4. Ймовірність настання хоча б однієї події
5. Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій
6. Приклади розв'язання типових задач.
Список використаної літератури
1. Додавання ймовірностей несумісних подій
Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
(1)
Формула додавання ймовірностей справедлива і тоді коли подія є об'єднанням будь-якого скінченого числа несумісних подій:
, (2)
якщо
З формули додавання ймовірностей випливає, що сума ймовірностей настання події і події, протилежної до , дорівнює одиниці. Тобто
,
Звідси
(формула ймовірності протилежної події);
2. Ймовірність добутку подій
Означення 4. Дві події і називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи, чи не появи іншої. У протилежному випадку вони називаються залежними.
Нехай і - незалежні події. Тоді ймовірність одночасної появи цих подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
. (2)
3. Формула суми ймовірностей довільних подій
Ймовірність появи хоча б однієї із двох довільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірностей їх довільної появи:
. (3)
Дана формула може бути узагальнена на будь-яке скінчене число сумісних подій. Наприклад, для трьох сумісних подій
.
4. Ймовірність настання хоча б однієї події
Ймовірність настання події , яка полягає в настанні хоча б однієї з подій дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :
. (4)
Якщо всі подій мають однакову ймовірність, то ф-ла (4) має вигляд:
. (5)
5. Теорема множення ймовірностей залежних і незалежних подій
З формул
. (5.3)
. (5.4)
для обчислення умовної ймовірності безпосередньо випливають теореми множення ймовірностей.
Теорема 1. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої при умові, що відбулась перша, тобто
. (5.5)
Методом математичної індукції теорема 1 поширюється на довільне число співмножників.
Теорема 2. Для довільних подій справедлива формула
. (5.6)
Якщо події незалежні, то теорема множення набуває вигляду:
Теорема 3. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто
. (5.7)
Означення 5. Події називаються незалежними в сукупності, якщо при будь-яких справедлива рівність
(5.8)
та попарно незалежними, якщо при будь-яких
. (5.9)
Очевидно, що події незалежні в сукупності є також попарно незалежними. Для незалежної сукупності подій теорема множення ймовірностей набуває вигляду:
. (5.10)
6. Приклади розв'язання задач за допомогою даних теорем
Приклад 1. На полиці у випадковому порядку розставлено 15 книжок, причому 6 з них з математики. Навмання беруть три книжки. Знайти ймовірність того, що серед них хоч одна книжка з математики.
Розв'язання.
І спосіб. Подія -хоча б одна з трьохвзятих книжок з математики, відбудеться, якщо відбудеться будь-яка з трьох несумісних подій: - одна книжка з математики, - дві книжки з математики, - три книжки з математики. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій . Знайдемо ймовірності подій :
Отже,
ІІ спосіб. Подія (хоча б одна книжка з математики) і (жодна із взятих книг не з математики) - протилежні, тому , звідки . Знайдемо :
. Тоді .
Приклад 2. Ймовірність появи деякої випадкової події у першому випробовуванні - 0.9, у другому - 0.8, у третьому - 0.7. Яка ймовірність того, що при трьох випробовуваннях подія з'явиться:
1) тільки один раз;
2) тільки два рази;
3) принаймі один раз;
4) жодного разу.
Розв'язання. Позначимо появу події в -му випробуванні через . За умовою задачі
Тоді , , .
Отже,
1. Ймовірність того, що подія наступить один раз при трьох випробуваннях:
.
2. Ймовірність того, що подія наступить тільки два рази при трьох випробуваннях:
.
3. Ймовірність того, що подія наступить принаймі один раз в трьох випробуваннях:
.
4. Ймовірність того, що подія не наступить жодного разу в даних трьох випробуваннях .
Приклад 3
В ящику знаходиться 7 деталей вищого та 4 деталі першого гатунку.З ящика навмання витягують 4 деталі . Знайти ймовірності подій
1)серед них менше двох деталей вищого гатунку ;
2)хоча б одна деталь першого гатунку .
Розвязання .
Розглянемо події
А={не менше двох деталей вищого гатунку },
В={хоча б одна деталь першого гатунку},
={усі деталі першого гатунку},
={лише одна деталь вищого гатунку},
={лише дві деталі вищого гатунку},
={лише три деталі вищого гатунку},
={чотири деталі вищого гатунку}.
Знайдено ймовірність події А .
Очевидно ,
Тому простіше знайти спочатку Р ( А ), а потім Р(А).
За класичним визначенням ймовірності
Тому
Тоді
Р( А )=1-Р(А)=1- .
Знайдемо ймовірність події В .
Очевидно,
і .
Тому
Приклад 4. Задано множину цілих чисел = ={1,2,…,30}. Навмання з цієї множини беруть одне число . Яка ймовірність того , що воно виявиться кратним 5 або 7 ?
Розвязання. Простір містить n=30 елементарних подій . Позначимо через А подію , що полягає в появі числа , кратного 5 , а через В у появі числа , кратного 7 .Тоді дістанемо :
А=(5,10,15,20,25,30), =6 ;
В=(7,14,21,28), =4 ;
А В =
Згідно з (1) маємо:
Р (А В ) = Р (А) + Р (В)=
Приклад 5. В урні містяться 20 однакових кульок які пономеровані від 1 до 20 . Навмання із урни беруть одну кульку . Яка ймовірність того , що номер кульки виявиться кратним 3 або 5 ?
Розвязання . Кількість усіх елементарних подій множини n =20. Позначемо через А подію , що номер кульки кратний трьом А={3,6,9,12,15,18, } , а через В = {5,10,15,20} = 4 - появу кульки із номером , кратним 5 .
Подія: А і В є сумісними подіями.Їх перетин А В = (15).
Згідно з (3.) дістанемо
Р(А В)=Р(А)+Р(В)-Р(А В)= = .
Список використаної літеатури
1. Калемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991.
2. Теорія ймовірностей і математична статистика / Г.Я.Стопень, В.Б. Рудницький і т.д., Хмельницький, ТУП, 2001
3. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. - М.:Наука, 1987.
Loading...

 
 

Цікаве