WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Чисельний метод - Реферат

Чисельний метод - Реферат

лінійно незалежні .
Перепишемо рівняння (347) так:
,
або, у векторно-матричній формі:
, (348)
де
.
Рівняння (348) можемо подати як , або
. (349)
Із (349) визначимо матрицю D:
.
Звідси
. (350)
Приклад 2. За заданою матрицею
знайти .
Розв'язання. Оскільки характеристичними коренями матриці А є числа , , то відповідні їм характеристичні вектори будуть такі:
, .
Отже, матриці T і T -1 матимуть відповідно такий вигляд:
, .
Тоді
.
Знайшовши діагональну матрицю
,
дістанемо:
.
Зауважимо, що визначати характеристичні вектори та будувати матриці Т, Т -1 доводиться для відшукання розв'язків системи нелінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
2. Знаходження розв'язків
для систем лінійних диференціальних
рівнянь зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь
за , (351)
де ; ; ; ; - вектор граничних умов.
Нехай
, (352)
де , Т - матриця, стовпцями якої є характеристичні вектори матриці А.
Тоді
Отже,
. (353)
Оскільки , то
. (354)
Узявши до уваги, що , де , дістанемо
,
або
, (355)
де . (356)
Рівняння (353) подамо в такому вигляді:
,
або
. (357)
Отже, систему лінійних диференціальних рівнянь (351) діагоналізацією матриці А звели до вигляду (357), зручного для подальшого розв'язування.
Так, для і-го рівняння системи (357) маємо:
, , (358)
(359)
Оскільки згідно з (359) , то остаточний розв'язок буде такий:
. (360)
Ураховуючи (360), дістаємо загальний розв'язок системи (351):
.
Приклад 3. Розв'язати системи лінійних диференційних рівнянь
якщо .
Розв'язання. Оскільки матриця , то характеристичні корені знаходимо з рівняння
.
Отже, , , .
Щоб визначити характеристичні вектори матриці А, скористаємося поданим далі рівнянням для всіх значень характеристичних коренів , , :
, .
Наприклад, для маємо:
Узявши , дістанемо , .
Далі запишемо характеристичний вектор для характеристичного числа :
.
За маємо:
Узявши , дістанемо , . Тоді характеристичний вектор для характеристичного кореня буде такий:
.
Для маємо:
Зокрема, якщо , дістаємо , . Характеристичний вектор для буде такий:
.
За знайденими характеристичними векторами , , будуємо матрицю
, звідки .
Знаючи , знаходимо
.
Згідно з (353) маємо:
.
Скориставшись (352), дістанемо розв'язок зведеної системи:
.
Остаточно маємо:
Отже, для визначення розв'язків систем лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами потрібно матрицю А подати в діагональному вигляді. А це практично можна здійснити лише для матриць низького порядку. Для матриць високого порядку такі перетворення пов'язані з великими труднощами, через що в цьому разі корені характеристичного рівняння знайти практично неможливо.
З такими ситуаціями стикаємося під час побудови ймовірнісних моделей систем обслуговування, які являють собою лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь, порядок яких може досягати десятків тисяч.
3. Ітераційні (чисельні) методи
1. Імовірнісні моделі систем обслуговування в загальному вигляді
Системи обслуговування, які працюють в реальному масштабі часу, моделюються системою лінійних диференційних однорідних рівнянь, яка у векторно-матричній формі має такий вигляд:
. (361)
Тут , (362)
при цьому ,
. (363)
Н - квадратна матриця такого вигляду:
. (364)
Отже, досліджувана система має N несумісних станів.
Елементи матриці є сталими величинами, які визначаються параметрами системи , ( - інтенсивність надходжень обслуговування вимоги і-го потоку; - інтенсивність обслуговування вимоги і-го потоку). Елементи головної діагоналі матриці є найбільш вагомими за своїм числовим значенням порівняно із іншими недіагональними елементами і мають від'ємний знак. Недіагональні елементи цієї матриці можуть дорівнювати , або нулю. При цьому нульові елементи кожного рядка матриці становлять більшість.
Ураховуючи те, що під час дослідження систем обслуговування нас цікавить їх поводження у стаціонарному режимі , покажемо, що стаціонарний розв'язок системи можна знайти ітераційним методом, який не потребує діагоналізації матриці Н, а отже, і визначення характеристичних коренів та відповідних їм характеристичних векторів.
2. Особливості матриці Н
Матриця Н завжди має характеристичний корінь . Справді, з огляду на те, що
, (365)
для всіх , де N - кількість станів системи, для матриці Н маємо
, (366)
звідки випливає, що ця матриця має нульовий характеристичний корінь.
Характеристичні корені матриці Н або дорівнюють нулю, або від'ємні. У разі, коли , виконується нерівність , а коли , то .
Нехай характеристичному вектору матриці Н відповідає характеристичне число .
Тоді маємо
. (367)
Не обмежуючи загальності міркувань, для наочності розглянемо просту ймовірнісну модель
(368)
яка у стаціонарному режимі подається так:
(369)
У векторно-матричній формі система (368) набирає такого вигляду:
, (370)
де
. (371)
Рівняння (367) у розгорнутому вигляді можна записати так:
або
Loading...

 
 

Цікаве