WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Чисельний метод - Реферат

Чисельний метод - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Чисельний метод
Розглянутий у темі аналітичний метод (метод імовірнісних функцій) розв'язування системи алгебраїчних рівнянь, яка описує стаціонарний режим роботи систем обслуговування, дає змогу дістати формули для визначення основних числових характеристик цих систем.
Але зі збільшенням кількості потоків вимог, що надходять до системи, каналів обслуговування зростають труднощі організації дисципліни обслуговування цих вимог, а ймовірнісна модель ускладнюється настільки, що застосовувати аналітичний метод стає проблематичним.
Навіть у тому разі, коли цей метод дає змогу знайти аналітичний вираз для часткових імовірнісних твірних функцій, їх структура стає такою громіздкою, що для визначення самого лише математичного сподівання кількості вимог, які перебувають у системі, потрібно виконати великий обсяг математичних операцій, що було вже проілюстровано на моделях, розглянутих у темі 6.
Окрім того, у реальних системах обслуговування, які функціонують в реальному масштабі часу, вхідним потокам вимог (інформації) часто відмовляють в обслуговуванні внаслідок переорієнтації обслуговуючих ресурсів систем на обробку вимог (інформації) більш пріоритетного потоку, а тому ці вимоги залишають систему і втрачаються для неї. Тоді важливо визначити таку ймовірність втрати вимог для системи, яка може мати місце як для вимог простого потоку, так і для вимог потоку, що користується абсолютним пріоритетом в обслуговуванні. Така ситуація можлива, коли з технічних причин (обмеження місткості нагромаджувачів інформації, яка надходить для обробки, і т. ін.) вводиться обмеження на кількість вимог (інформації), що можуть перебувати в черзі.
Аналітичним методом ці ймовірності знайти не можна, оскільки цей метод передбачає безперервне поповнення черг для всіх вхідних потоків вимог.
Отже, щоб знайти основні числові характеристики систем обслуговування, а також імовірності втрат вимог вхідних потоків, доцільно застосувати чисельний (ітераційний) метод. За допомогою цього методу можна значно розширити коло задач із імовірнісними моделями й оперативно здобути інформацію про поводження системи обслуговування як у реальному масштабі часу, так і в майбутньому. Оператор, змінюючи параметри системи, може досягти певної оптимізації економічної ефективності її функціонування.
1. Лінійні системи диференціальних рівнянь
зі сталими коефіцієнтами та їх розв'язки
1) Діагоналізація квадратних матриць. Характеристичні корені та їх характеристичні (власні) вектори
Нехай задано квадратну матрицю
, (341)
визначник якої не дорівнює нулю. Тоді для цієї матриці існує такий вектор , для якого
, (342)
тобто, якщо помножимо матрицю А на вектор , то результат дорівнюватиме скалярному добутку числа на цей вектор Отже, вектор паралельний вектору .
Рівність (342) можна переписати так:
. (343)
Тут символ 0 є позначенням нульового вектора. Отже, (343) можна подати в такому вигляді:
.
Тут .
Рівняння (343) є однорідним і матиме ненульовий розв'язок лише в тому разі, коли ранг матриці буде меншим за її порядок. Тоді визначник цієї матриці має дорівнювати нулю:
(344)
Рівняння (343) задає умову, за якої існує ненульовий вектор, що й буде його розв'язком. Із рівняння (343), яке називається характеристичним, можна знайти всі значення характеристичних коренів , які задовольнятимуть його, при цьому можуть бути як дійсними, так і комплексними.
Вектор , що задовольняє рівняння (343), називають характеристичним, або власним.
Припустимо, що квадратна матриця А розміром n n має n різних характеристичних чисел. Тоді вона має і n характеристичних (власних) векторів. Кожному характеристичному числу відповідає один характеристичний вектор .
Отже, має задовольняти рівняння
. (345)
Приклад 1. Задано матрицю
.
Знайти характеристичні корені та характеристичні (власні) вектори.
Розв'язання. Характеристичне рівняння матиме такий вигляд:
,
.
Отже,
, .
Визначимо характеристичні (власні) вектори.
Оскільки , то
За , .
Звідси дістаємо характеристичний вектор .
Справді,
.
Аналогічно
Остаточно маємо , .
Отже, характеристичний вектор
.
Перевіримо:
.
Доходимо висновку, що характеристичні вектори , для матриці А знайдено правильно.
Власне, коли практично застосовують характеристичні (власні) вектори матриці А? Скажімо, тоді, коли доводиться підносити квадратну матрицю А до k-го степеня, де k - довільне ціле додатне число. Як відомо, виконання цієї операції за великих значень k потребує значного обсягу обчислень.
Нехай маємо невироджену матриця Т і діагональну матрицю D, для яких виконується така рівність:
. (346)
Тоді
;
;
………………………………………………
. (347)
Отже, знайшовши невироджену матрицю Т , для якої існуватиме й матриця , і маючи матрицю D, усі елементи якої окрім розміщених на головній діагоналі дорівнюють нулю, значно спростимо операцію піднесення матриці А до степеня k.
Щоб побудувати матрицю Т, знайдемо характеристичні вектори, попередньо визначивши характеристичні числа матриці А.
Записавши всі характеристичні вектори у вигляді стовпців, дістанемо матрицю виду , яка й буде матрицею Т.
Отже,
.
Матриця Т буде квадратною і невиродженою, оскільки характеристичні вектори матриці А
Loading...

 
 

Цікаве