WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Системи рівнянь народження і загибелі - Реферат

Системи рівнянь народження і загибелі - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Системи рівнянь народження і загибелі
Одним із найважливіших напрямів застосування процесів Маркова є моделювання процесу народження і загибелі, що може відбуватися як із дискретними, так і з неперервними змінами часу t. При цьому головною умовою, котра неодмінно має виконуватися, є така: переходи процесу можливі лише до сусідніх станів.
Марковський процес у цьому разі описує зміни, які відбуваються в часі в певному обсязі популяції, а саме - зміни кількості одиниць певного виду організмів.
При цьому припускається, що процес народження певної кількості одиниць організмів моделюється пуассонівським процесом (потоком) із параметром , що є інтенсивністю народження k-го організму, а загибель - експоненціальним законом розподілу з параметром де - інтенсивність загибелі k-го організму. Такі припущення добре узгоджуються з реальними процесами народження і загибелі, які відбуваються в певному обмеженому просторі популяції, а також дають змогу застосовувати математичний апарат, будуючи такі ймовірнісні моделі, котрі можна використати для розв'язання широкого кола задач, що постають у системах обслуговування.
Для процесу народження та загибелі, як уже наголошувалося, можливі лише переходи зі стану до стану або .
Нехай обсяг популяції дорівнює k одиницям, а отже, процес перебуває у стані .
Перехід процесу зі стану до стану відповідає випадковій події - народження з певною ймовірністю однієї одиниці організму, а перехід процесу зі стану до стану відповідатиме такій випадковій події: загибель із певною ймовірністю однієї одиниці організму.
Три можливі переходи процесу розмноження та загибелі, де відсутні переходи процесу до несусідніх станів, унаочнює рис. 27.
Рис. 27
Для побудови ймовірнісної моделі цього процесу спинимося докладніше на його переходах до сусідніх станів і відповідних імовірностях преходів.
Нехай у момент часу t було k одиницьпопуляції, тобто процес розмноження та загибелі перебував у стані .
Тоді в момент часу де - достатньо мала величина, процес перебуватиме у стані якщо відбудеться одна з несумісних випадкових подій із відповідними ймовірностями, а саме:
а) якщо в момент часу t обсяг популяції дорівнював одиницям, то згідно зі (143) протягом часу одна одиниця неодмінно має загинути з імовірністю
; (168)
б) якщо в момент часу t обсяг популяції дорівнював k - 1 одиниць, то згідно зі (143) протягом часу одна одиниця неодмінно народиться з імовірністю
; (169)
в) якщо в момент часу t обсяг популяції дорівнював k одиниць і протягом часу ця кількість не зміниться, тобто згідно зі (139) жодна одиниця не загинула і не народилась із імовірністю
(170)
Наведені переходи та відповідні їм імовірності зображено на рис. 28 для
Рис. 28
Для переходи процесу та відповідні їм імовірності зображено на рис. 29.
Рис. 29
На основі наведених щойно міркувань дістанемо таку систему рівнянь:
(171)
При цьому
(172)
Скориставшись (168)-(170), подамо систему (171) у вигляді
(173)
Розкривши дужки в системі (173), дістанемо:
або
(174)
Від системи (174) переходимо до системи
(175)
Поділивши ліву і праву чистини системи на , дістанемо:
Переходячи до границі за дістаємо:
оскільки
або
(176)
Отже, дістали систему диференціально-різницевих рівнянь, яка описує динаміку ймовірнісного процесу народження і загибелі.
Зосередивши увагу, наприклад, на стані побачимо, що перейти до цього стану можна лише зі станів або і навпаки, залишаючи стан можна потрапити лише в стан або .
Такі процеси називають процесами розмноження і загибелі.
Якщо в системі (176) візьмемо для всіх значень k, то дістанемо процес чистого розмноження:
(177)
Loading...

 
 

Цікаве