WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поглинальні ланцюги Маркова та їх основні числові характеристики - Реферат

Поглинальні ланцюги Маркова та їх основні числові характеристики - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Поглинальні ланцюги Маркова та їх основні числові характеристики
Вивчаючи поглинальні ланцюги Маркова, визначають:
1) імовірності переходу до поглинального стану за умови, що процес почався з непоглинального стану;
2) середнє значення часу перебування процесу в непоглинальному стані, перш ніж він перейде до одного з поглинальних станів, за умови, що в початковий момент часу процес був у непоглинальному стані;
3) середню кількість зроблених кроків, перш ніж процес перейде до поглинального стану, якщо початковий стан процесу був непоглинальним.
1. Канонічна форма матриці ?
Розглядаючи поглинальні ланцюги Маркова, стани процесу нумерують так, щоб поглинальні дістали перші номери.
З огляду на це матриця - вона в такому разі називається канонічною формою матриці ? - у загальному випадку подається у вигляді:
. (24)
Тут I - одинична матриця розміром m?m;
O - матриця розміром усі елементи якої дорівнюють нулю;
Q - матриця розміром елементами якої є ймовірності переходів системи з непоглинальних станів до непоглинальних;
R - матриця розміром елементами якої є ймовірності, що визначають перехід системи з непоглинального стану до поглинального.
Приклад 11. За даною матрицею ймовірностей однокрокового переходу поглинального ланцюга Маркова
побудувати її канонічну форму.
Розв'язання. Матриця ? описує поглинальний ланцюг Маркова з чотирма станами із яких стан є поглинальним.
Тому для матриці
канонічна форма набирає такого вигляду:
,
де
.
Приклад 12. За даною матрицею ймовірностей однокрокового переходу системи
побудувати канонічну матрицю.
Розв'язання. Канонічна форма матриці буде така:
,
де .
2. Фундаментальна матриця
Для поглинального ланцюга Маркова з однокроковою матрицею ймовірностей, поданою в канонічній формі (24), справджуються такі твердження:
1) де О - нульова матриця, всі елементи якої нулі;
2) матриця де І - одинична матриця, має обернену;
3) . (25)
Для поглинального ланцюга Маркова ймовірність переходу системи (процесу) в поглинальний стан зі збільшенням числа кроків переходу k прямує до одиниці. А тому і буде виконуватисярівність
. (26)
Приклад 13. За даною однокроковою матрицею ймовірностей
установити, як змінюються значення ймовірностей переходу з одного стану до іншого зі зростанням кількості кроків k.
Розв'язання. Перейдемо від матриці ? до її канонічної форми, беручи до уваги, що стани і поглинальні:
.
Отже, маємо:

- матриця, елементи якої є ймовірності переходів системи з непоглинальних станів до поглинальних
- матриця, елементами якої є ймовірності переходів системи з непоглинальних станів до непоглинальних (тобто система перебуває лише у станах
Простежимо, як змінюються значення ймовірностей переходу для матриць R і Q зі зміною кількості кроків.
1) :
.
2) :
.
Як бачимо, зі зростанням кількості кроків імовірності матриці R збільшуються, а ймовірності матриці Q зменшуються. І вже за матриця набирає такого вигляду:
Отже, коли кількість кроків , усі елементи матриці Q дорівнюють нулям, і система може перебувати лише у стані із якого вона неодмінно переходить до одного з поглинальних станів - чи
Матриця матиме обернену лише за умови, що визначник її не дорівнює нулю, тобто
Доведемо, що
Скориставшись властивістю визначника
(27)
розглянемо рівність
звідки
(28) (28)
Отже, а тому для великих значень n (кількості кроків)
Із (27) і (28) випливає, що
Оскільки то матриця має обернену. Із (28) маємо: . Звідси при дістаємо
На практиці обернену матрицю знаходять, здебільшого, традиційними методами.
Матрицю називають фундаментальною для поглинального ланцюга Маркова.
Елемент, який у матриці N міститься на перетині і-го рядка і
j-го стовпця, характеризує середнє значення кількості випадків перебування системи (процесу) у стані і позначається .
Фундаментальну матрицю N можна дістати й іншим методом. Справді, нехай - функція, значення якої дорівнює загальній кількості моментів часу, протягом якого система (процес) перебуватиме у стані а - функція, яка може набувати лише двох значень: 1 - з імовірністю коли система на k-му кроці перебуватиме у стані і 0 - з імовірністю у протилежному випадку.
Тоді дістаємо:
Loading...

 
 

Цікаве