WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні закони розподілу неперервних випадкових величини - Реферат

Основні закони розподілу неперервних випадкових величини - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
Основні закони розподілу неперервних випадкових величини
ПЛАН
1. Функція розподілу імовірностей системи двох випадкових величин та її властивості
2. Щільність імовірностей системи двох неперервних випадкових величин (X, Y), f(x, у) та її властивості
3. Основні числові характеристики для системи двох неперервних випадкових величин (X, У)
4. Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х і Y, які утворюють систему (X, Y)
5. Приклади розв'язання типових задач
1. Функція розподілу імовірностей системи двох випадкових величин та її властивості
Розглянемо двовимірну випадкову величину (Х,Y) і пару дійсних чисел (х,у). Ймовірність події, що Х прийме значення, менше ніж х і при цьому Y прийме значення, менше ніж у, позначимо F (x,y).
Означення 1. Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y) називають ймовірність:
F{x,y)=P(Х < x), (Y < y) (1.)
Геометрично формулу (1) можна тлумачити так: F(x, y) є ймовірність того, що випадкова точка (X, Y) попаде в квадрант з вер-шиною у точці (х, у), розташований лівіше і нижче цієї вершини (рис. 1):
Рис. 1.
Функція розподілу (1) володіє тими ж властивостями, що й функція розподілу випадкової величини в одновимірному випадку, а саме:
1. 0 ? F(x, у) ? 1, оскільки 0 ? Р((Х < х) ? (у < у)) ? 1.
2. Якщо один із аргументів F(x, у) прямує до +?, то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до + ?, а саме:
(2)
(3)
3.
(4.)
(5.)
4.
5. F (x, у) є неспадною функцією аргументів х і у.
6. Імовірність влучення точки (X, Y) в довільний прямокутник (а < Х< b,
(6.)
с < Y < d) обчислюємо так:
Р (а < х < b, с < у < d) = F(b, d) + F(a, с) - F(a, d) - F(b, с).
2. Щільність імовірностей системи двох неперервних випадкових величин (X, Y), f(x, у) та її властивості
Як і в одновимірному випадку, двовимірну випадкову величину можна задавати за допомогою щільності розподілу. Для цього припускається, що функція розподілу неперервна і має неперервні частинні похідні другого порядку (за винятком, можливо, скінченого числа кривих).
Означення 2. Щільністю сумісного розподілу ймовірностей f {x, у) двовимірної випадкової величини (х, у) називають другу змішану похідну від функції розподілу F(x,y):
(7).
Геометричне функцію f (x,y) тлумачать як поверхню розподілу. Виходячи з означення щільності розподілу, можна вирішити і обернену задачу: за функцією f {x, у) знайти функцію
розподілу F(х, у). Це можна зробити за допомогою формули:
(8.)
Властивості F(x, у)
1. Функція f (х, у) ? 0, оскільки F (x, у) є неcпадною відносно ар-гументів х і у.
(9.)
2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (X, Y) така:
Якщо ? = {- ? < х < ?,- ? < у < ?}, то (9) набирає такого вигляду:
(10.)
(11.)
3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області D ?обчислюється так:
(12.)
Імовірність розміщення системи змінних (х, у) у прямокутній області D=(a(13.)
4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння
5. Якщо
(14.)
3. Основні числові характеристики для системи двох неперервних випадкових величин (X, У)
Математичне сподівання для Х дорівнює та дисперсія для Х
дорівнює, відповідно, дорівнюють:
Математичне сподівання для Y дорівнює
Дисперсія для Y дорівнює
Якщо ? ={-? < х < ?, -? < у < ?}, то виконуються співвідношення:
Якщо ? = {а ? х ? b, с ? у ? d}, то маємо:
4. Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х і Y, які утворюють систему (X, Y)
Як і в системі двох дискретних випадкових величин, у системі двох неперервних випадкових величин розглядаються умовні закони розподілу.
Ураховуючи (2), можна записати
Звідси
Аналогічно маємо:
Дістаємо:
Для умовних законів розподілу неперервних випадкових величин умова нормування має такий вигляд:
Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то
У цьому разі (34) набирає вигляду
Для незалежних випадкових величин Х та Y виконується рівність
Числові характеристики для умовних законів розподілу ймовірностей:
Умови незалежності для системи двох випадкових величин Х і Y такі:
- для того, щоб випадкові величини Х і Y були незалежними,
необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) була рівна добутку функцій розподілу Х і Y:
- дві випадкові величини називаються незалежними, якщо функція розподілу системи цих величин дорівнює добутку функцій розподілу складових. Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, то
Із означення коваріації (кореляційного моменту) видно, що вона має розмірність, рівну добутку розмірностей величин Х і Y . Це означає, що величина коваріації залежить від одиниць вимірювань випадкових величин. Тому для одних і тих же двох величин величина коваріації може мати різні значення залежно від того, в яких одиницях вони виміряні.
Для того, щоб усунути це, для системи двох величин вводять нову числову характеристику - коефіцієнт кореляції за формулою:
Для випадкових величин Х і Y має місце нерівність:
5. Приклади розв'язання типових задач
Приклад 1. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин (X, Y) задано функцією розподілу ймовірностей
Обчислити Р(0 < х < 4,0 < у < 2).
Розв'язання. Відповідну графічну схему зображено на рис. 2.
Рис. 2.
Далі згідно зі (6.) маємо:
P(0< x < 4;0 < y <2) = F (4;2) + F (0;0) - F (0;2) - F(4;0) = 1 - e-8 - e -6 + e-14.
Приклад 2. Випадкова величина X задана щільністю розподілу f(x, y)=xy, якщо (х,у) D= {0 х 1, 0 у 1} і f(x,y)=0 у протилежно-му випадку. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини Х у квадрат
D= {0 х 1/2, 0 у 1/2}(Рис. 3)
Рис. 3
o За формулою:
Список використаної літератури
Loading...

 
 

Цікаве