WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом - Реферат

Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом
Випадковий процес із дискретними станами і неперервним часом називають марковським, якщо для будь-якого моменту часу t умовні ймовірності всіх станів системи в майбутньому (за ) залежать лише від того, в якому стані перебувала вона у фіксований момент часу , і не залежать від того, коли і як саме система набула цього стану.
У реальному світі марковські процеси трапляються дуже рідко. Здебільшого доводиться стикатися з процесами, які лише наближено можна вважати марковськими.
А тому, припускаючи, що досліджуваний процес є марковським, скористаємося математичним апаратом дослідження марковських процесів.
Теорію марковських процесів із дискретними станами і неперервним часом застосовують до систем, в яких можуть відбуватися переходи з одного стану до іншого під впливом зовнішніх випадкових збурень, котрі, як правило, вважають пуассонівськими.
1. Пуассонівський процес
Математичні моделі, які вивчатимуться в наступних темах, пов'язані переважно з пуассонівськими потоками подій. При цьому ставляться певні умови, які мають бути виконані, задовольняючи низку обов'язкових властивостей.
Для пуассонівського потоку ймовірність появи випадкової події k раз протягом проміжку часу t обчислюється за формулою:
(133)
де - інтенсивність потоку.
Тоді зі (133) випливає: ймовірність того, що за час t жодна з подій не настане, подається у вигляді
(134)
а ймовірність настання однієї події за час t - у вигляді
(135)
Тоді ймовірність настання за час t більш як однієї події буде така:
Розклавши в ряд функцію
дістанемо відповідно
(136)
, (137)
. (138)
Для малих значень t і значення нескінченно малі, а тому формули (136)-(138) набирають такого вигляду:
(139)
(140)
(141)
Ця властивість пуассонівського процесу (потоку) вельми важлива для багатьох практичних його застосувань.
Отже, якщо рівності (139)-(141) виконуються, то для малого інтервалу часу відповідно дістаємо:
(142)
(143)
(144)
де
тобто - нескінченно малі вищого порядку порівняно з
Нехай - імовірність появи k-ї події, що може відбутися за проміжок часу t, причому а також
(145)
оскільки події несумісні й утворюють повну групу.
Якщо - достатньо мала величина, то ймовірність того, що за час не настане жодна з подій, можна подати, як показано на рис. 21.
Рис. 21
Отже, подія не настане на інтервалі (0, t) і на проміжку Оскільки ці події незалежні, виконується рівність
або
. (146)
Аналогічно для ймовірності дістаємо (рис. 22):
Рис. 22
З огляду на незалежність подій, які можуть відбутися в інтервалах (0, t) і ( ), маємо:
або
.
Проте за є величиною нескінченно малою:
причому
Тому
де (сума нескінченно малих величин також нескінченно мала).
Беручи до уваги (142) і (144), дістаємо систему:
(147)
яку можна подати у вигляді
або
(148)
Поділивши ліву і праву частини обох рівнянь системи на , дістанемо:
Якщо то виконуються такі співвідношення:
Отже, за від системи (148) переходимо до системи
(149)
яку називають системою диференціально-різницевих рівнянь.
Цю систему розв'язують методом імовірнісних твірних функцій.
Імовірнісною твірною функцією називають збіжний степеневий ряд виду
(150)
де
Звідси можна визначити для будь-якого значення
Зокрема, за маємо:
Щоб знайти , продиференціюємо (150) один раз і візьмемо Тоді дістанемо
Для визначення продиференціюємо (150) двічі і також візьмемо
Отже,
Аналогічно знаходимо:
(151)
Зауважимо, що виконуються такі рівності:
(152)
(153)
Помноживши обидві частини першого рівняння системи диференціально-різницевих рівнянь (149) на , а обидві частини другого рівняння на ( ), дістанемо:
(154)
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи (154):
(155)
Далі, підсумувавши (154) за k, запишемо:
(156)
або з урахуванням (152) і (156):
(157)
Таким чином, систему (157) за допомогою ймовірнісних твірних функцій зведено до простого лінійного диференціального рівняння відносно
Розв'язуючи це рівняння, маємо:
. (158)
Тепер, скориставшись (151), дістанемо:
Loading...

 
 

Цікаве