WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Зв’язок між пуассонівським та експоненціальним законами - Реферат

Зв’язок між пуассонівським та експоненціальним законами - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Зв'язок між пуассонівським та експоненціальним законами
Можна довести, що проміжки часу між двома подіями в пуассонівському потоці з інтенсивністю мають експоненціальний закон розподілу.
Щоб довести цю важливу властивість пуассонівського потоку, зауважимо, що час, який минає між моментами настання двох послідовних випадкових подій, буде меншим за t лише в тому разі, коли при цьому не настане жодна подія.
Нехай Т - проміжок часу, протягом якого може відбутися одна і більше подій . Тоді випадкова подія означає, що на цьому проміжку може відбутися подій потоку Пуассона, а саме:
або
(163)
Права частина (163) є функцією розподілу для експоненціального закону з параметром , а тому
Що й потрібно було довести.
Важливою властивістю експоненціального закону є відсутність післядії. Ця ж властивість притаманна пуассонівському потоку.
Припустимо, що подія настала в момент часу Потрібно визначити закон розподілу часу до появи наступної події пуассонівського потоку.
Нехай після моменту минуло секунд, протягом яких не настала жодна з подій. Постає запитання: яка ймовірність того, що наступна подія відбудеться через t секунд, коли відлік часу почати з моменту
Нехай - умовна ймовірність того, що подія не відбудеться протягом часу за умови, що цей проміжок часу буде
Тоді, скориставшись формулою умовної ймовірності, дістанемо:
Отже, маємо:
(164)
Це означає: розподіл часу, який залишився до появи наступної події, за умови, що з моменту настання події за проминуло секунд, тотожно дорівнює безумовному закону розподілу ймовірностей проміжків часу між сусідніми подіями пуассонівського потоку. Це дає підстави вважати, що час до появи наступної події не залежатиме від того, скільки його минуло з моменту появи попередньої події.
Щоб докладніше з'ясувати, у чому полягає відсутність післядії, розглянемо графік щільності ймовірностей , наведений на рис. 26.
Рис. 26
З тією метою, щоб після того, як промине секунд, визначити щільність імовірностей часу, який залишився до появи наступної події, необхідно розглянути область, яка розміщена праворуч від (на рис. 26 цю область заштриховано), оскільки вона визначає ймовірнісну картину в майбутньому. Область, яка лежить на відрізку [0; t1], визначає минуле процесу і вже не містить будь-якої невизначеності.
Для того щоб заштриховану область звести до вигляду стандартного для щільності ймовірностей експоненціального закону, необхідно виконати нормування так, щоб заштрихована площа дорівнювала одиниці:
Нова функція є точною копією початкової функції Отже, довільний "хвіст" щільності ймовірностей повторює форму початкової функції.
Відсутність післядії притаманна лише експоненціальному законові розподілу, і цю властивість можна використати для визначення ймовірності появи події в малому проміжку часу за умови, що процес перебуває в точці
Відповідно дістаємо:
Отже,
(165)
Рівність (165) означає: коли подія до моменту часу не відбулася, то ймовірність того, що вона відбудеться у проміжку часу , буде така:
Імовірність того, що подія у проміжку часу не відбудеться, подається так:
.
Отже,
= . (166)
Тоді, ураховуючи (165) і (166), знаходимо ймовірність того, що за малий проміжок часу відбудеться подій:
=
= + =
Звідси маємо:
= , (167)
де .
Із наведених щойно міркувань випливає: коли проміжки часу між подіями мають експоненціальний закон розподілу ймовірностей, то це дає нам підставу стверджувати, що потік подій, які відбуваються у випадкові моменти часу, буде пуассонівським.
Про це свідчить тотожність формул (139)-(141), здобутих для пуассонівського потоку, і формул (165)-(167), здобутих для експоненціального закону розподілу проміжків часу між сусідніми подіями.
Loading...

 
 

Цікаве