WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Імовірнісна модель системи М/М/1 - Реферат

Імовірнісна модель системи М/М/1 - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Імовірнісна модель системи М/М/1
Розглядається система обслуговування з пуассонівським потоком вимог, що надходять до системи, і експоненціальний закон розподілу часу обслуговування цих вимог. При цьому система має один обслуговуючий прилад. Дисципліна черги не регламентована, але кількість вимог у системі, розміщуваних у спеціальному блоці, де вони очікують своєї черги на обслуговування, має не перевищувати числа N. Отже, максимальна довжина черги становитиме N - 1. Це свідчить, що за наявності в системі N вимог жодна із додаткових заявок не буде прийнята в блок очікування. Джерело заявок при цьому необмежене.
Імовірнісна модель процесу, що відбувається в цій системі, подається системою диференціально-різницевих рівнянь для :
(204)
Система (204) описує роботу системи в динаміці. Розв'язуючи практичні задачі цікавляться, як правило, числовими характеристиками системи у стаціонарному режимі. Тому для стаціонарного процесу, який здійсниться теоретично за система (204) набирає такого вигляду:
(205)
З огляду на те, що запишемо систему (205) в такому вигляді:
(206)
Отже, дістали однорідну систему лінійних рівнянь відносно розв'язуючи яку відносно визначаємо:
Згідно з умовою нормування маємо:
(оскільки ).
Отже, дістаємо:
(207)
Якщо знаходимо:
Отже, маємо:
(208)
.
Визначимо числові характеристики системи для стаціонарного стану:
Таким чином, для маємо:
(209)
У разі, коли дістаємо:
Отже, за
(210)
Таким чином, визначаємо
(211)
Беручи до уваги те, що згідно з умовою роботи системи кількість вимог у ній обмежується числом N, у цьому разі для визначення необхідно обчислити
Оскільки ймовірність того, що в системі буде N вимог, дорівнює то ймовірність того, що заявка, яка надійшла до системи, увійде у блок очікування, буде така:
(212)
Звідси й випливає, що
. (213)
Тоді середня кількість вимог, що чекають у черзі, визначатиметься так:
(214)
середня тривалість часу перебування вимоги в черзі
(215)
середня тривалість часу перебування вимоги в системі
(216)
Приклад 1. Зібрана інформація про режим роботи приватної чоловічої перукарні така: до перукарні надходять клієнти (вимоги) на обслуговування з інтенсивністю (осіб/год) ; тривалість часу, який витрачається на обслуговування клієнта, є випадковою величиною, що має експоненціальний закон розподілу ймовірностей зі значенням параметра тобто витрачається в середньому 10 хв. на обслуговування одного клієнта. Оскільки перукарня має лише одного перукаря для обслуговування клієнтів, то кількість їх у перукарні не може перевищувати
Визначити середню кількість клієнтів, які перебуватимуть у перукарні, а також середнє значення часу перебування клієнта в перукарні та довжину черги.
Розв'язання. Щоб проаналізувати процес обслуговування клієнтів перукарнею, скористаємося ймовірнісною моделлю (М/М/1). За умовою задачі маємо: оскільки то оскільки то
Отже, у середньому кількість клієнтів, які не зможуть приєднатися до черги (тобто будуть втрачені для перукарні), у середньому становить 4 0,0758 = 0,3032 клієнта за годину, а за 8 робочих годин втрати вже досягнуть 8 0,3032 = 2,425, тобто буде втрачено від двох до трьох клієнтів.
Середня кількість клієнтів у системі
Щоб обчислити середній час перебування клієнта в перукарні , необхідно знайти числове значення , оскільки кількість клієнтів у перукарні
Згідно з (213) маємо:
Далі обчислюємо:
год (42 хв).
Довжина черги при цьому
Отже, довжина черги дорівнює в середньому 1,98 клієнта (2 клієнти).
Loading...

 
 

Цікаве