WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Імовірнісна модель грошових потоків та їх стабілізація - Реферат

Імовірнісна модель грошових потоків та їх стабілізація - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Імовірнісна модель грошових потоків та їх стабілізація
Розглядається, скажімо, деяка країна (регіон), в якій є N міст. У певний момент часу - назвемо його початковим моментом - у кожному з міст перебуває в обігу певна кількість грошей. Ці гроші утворюють потоки, що циркулюють між містами. Якщо такі грошові потоки не контролювати, може створитися нестійка ситуація, а саме: у деяких містах будуть надлишки грошової маси, а в інших її бракуватиме. Поводження зазначених потоків має контролювати уряд, щоб досягти по змозі оптимального розподілу грошової маси між містами. Отже, потрібно визначити умову, за якої уряд досягне своєї мети, а також установити, яка кількість грошової маси має надходити до того чи іншого міста в кожний період часу.
Основним припущенням у цій моделі є те, що ззовні до країни гроші не надходять, але частина їх може "зникнути" в місті протягом певного часу. Така ситуація виникає, коли, наприклад, певну кількість грошової маси мешканці зберігають удома, а отже, вона не бере участі у грошових потоках.
А. Потокова модель із втручанням уряду у грошову ситуацію кожного міста
Побудуємо три вектори:
вектор-рядок
(48)
компоненти якого інформують про кількість грошей, які в певний момент часу перебувають у місті ;
вектор-рядок
(49)
компоненти якого інформують про кількість грошей, що їх уряд додає місту або забирає в нього ; за побудовою компоненти цього вектора можуть бути додатними, від'ємними, а також дорівнювати нулю, коли уряд не втручається у грошову ситуацію міста;
вектор-рядок
(50)
компоненти якого інформують про те, що саме має на меті уряд: через певну кількість періодів грошей у місті має бути не менш ніж коли грошові потоки між містами стабілізуються.
Отже, вектори і мають бути додатними. Компоненти вектора можуть бути як додатними, коли уряд вкладає гроші в економіку міста, так і від'ємними, коли уряд вилучає певну суму грошей з обігу міста. Крім того, ці компоненти можуть дорівнювати нулеві, якщо уряд не втручається у грошову ситуацію міст.
Нехай - частка грошей міста яка перейде до міста протягом одного періоду часу. Тоді, оскільки то значення можна розглядати як відповідні ймовірності зазначеного переходу.
Отже, можна скористатися теорією ланцюгів Маркова, станами яких є грошові ситуації в містах регіону (країни). Якщо то це означає, що між містами та існує грошовий потік, за - такого потоку немає.
Загальна картина грошових потоків між містами описується матрицею перехідних імовірностей для ергодичних ланцюгів Маркова. А якщо гроші відпливатимуть із регіону, то в цьому разі додасться поглинальний стан.
Отже, матриця
(51)
буде матрицею для поглинальних ланцюгів Маркова з одним поглинальним станом.
Якщо початкові суми грошей у кожному з міст задаються компонентами вектора то через певний період часу (крок) у місті сума грошей становитиме .
Тоді вектор задає розподіл грошових сум через один період часу;
- через два періоди;
- через три періоди;
- через k періодів.
Аналогічно сума грошей, які спочатку було вкладено в економіку урядом, зміниться за k кроків на
Отже, за періодів загальна сума становитиме
(52)
причому має виконуватися нерівність
(53)
оскільки вектор
потрібно вибрати так, щоб після певного часу кількість грошових одиниць у кожному місті задовольняла умову
(54)
Відомо, що для поглинального ланцюга Маркова
тому головну роль у рівнянні (52) відіграватиме другий член суми у правій його частині:
(55)
З огляду на те, що
,
рівняння (52) за набирає такого вигляду:
, (56)
звідки згідно з (52) випливає
. (57)
Отже, для великих значень n нерівність (54) можна записати так:
(58)
або
. (59)
У загальному випадку, щоб перевірити прийнятність вектора підставимо значення у рівняння (52). Тоді дістанемо:
Тут і Отже, якщо
тобто (60)
то для всіх значень i та t незалежно від вектора
Таким чином, можна стверджувати, що коли
(61)
то вектор прийнятний для будь-яких значень вектора
Приклад 1. За даною матрицею ?, що описує грошові потоки між трьома містами
,
та векторами знайти компоненти вектора за період часу t = 3 (три кроки).
Розв'язання. Скориставшись рівнянням (52), дістанемо
.
Канонізуємо матрицю ?:
.
Далі, записавши матрицю
,
подамо рівняння (52) у розгорнутому вигляді:
.
Отже, по закінченні часу t = 3 у першому місті буде 0,735, у другому - 15,746 і у третьому - 0,326 грошової одиниці.
Приклад 2. За даною матрицею
,
яка описує грошові потоки між чотирма містами певного регіону із поглинальним станом 5, і вектором бажаного розподілу грошових одиниць між чотирма містами визначити компоненти вектора - грошову політику уряду в цьому регіоні.
Розв'язання. Компоненти вектора знаходимо з рівняння
або
.
Отже, для стабілізації грошових потоків уряд має внести в місто 5,5 грошової одиниці, з міста вилучити одну, а з міста - 4,4 грошової одиниці і в місто внести 5,1 грошової одиниці.
Щоб перевірити прийнятність вектора , обчислимо
.
Як бачимо, не всі компоненти вектора задовольняють умову , тому вектор є неприйнятним. У разі, коли умова не виконується, застосовують інший критерій перевірки прийнятності вектора , який розглянемо далі.
Із (52) дістанемо . Отже, для того, щоб нерівність виконувалася для всіх t та i, необхідне виконання умови для всіх , звідки випливає співвідношення
(62)
.
Отже, умова (62) є іншим критерієм для перевірки прийнятності вектора
Так, для початкового вектора вектора і матриці Q попереднього прикладу (k = 1) дістаємо:
.
Очевидно, що нерівність справджується.
Це означає, що вектор є прийнятним відносно початкового вектора
Існує ще один критерій для перевірки прийнятності вектора а саме: якщо сума абсолютних величин компонентів вектора не перевищує найменшого компонента вектора то цей вектор задовольняє вимоги прийнятності.
Приклад 3. За даною матрицею,
,
яка описує грошові потоки між чотирма містами певного регіону та векторами перевірити на прийнятність вектор скориставшись для цього третім критерієм.
Розв'язання. Обчислимо компоненти вектора при k = 1:
.
Оскільки де 1 - значення найменшого компонента вектора то цей вектор неприйнятний.
Візьмемо тепер вектор та інший початковий вектор Для цих векторів за k = 1 дістаємо:
.
Оскільки де 2 - значення найменшого компонента вектора то цей вектор прийнятний.
Б. Потокова модель вибіркового втручання уряду
у грошову ситуацію міст
Розглянемо випадок, коли уряд втручається у грошову ситуацію окремо вибраних міст регіону.Оскільки нумерація міст довільна, можна вважати, що ці міста будуть Тоді для решти міст маємо
Для зручності матрицю Q поділяють на чотири підматриці, виокремлюючи при цьому стани (міста) , в які уряд втручається у процесі стабілізації грошових потоків.
Отже, матриця Q матиме такий вигляд:
. (63)
Аналогічно вектор у цьому разі набере такого вигляду:
де - вектор із компонентами вибраних станів (міст), де уряд втручається у грошову ситуацію;
- вектор із компонентами, що стосуються інших станів.
Тоді ,
або
.
Тут - вибрані міста;
- інші міста.
Отже,
де - вектор, компонентами якого є ті значення грошових одиниць, які уряд додає містам; - вектор, компоненти якого дорівнюють нулю (уряд не втручається у грошову ситуацію цих міст). Отже, Урахувавши це, дістанемо:
. (64)

 
 

Цікаве

Загрузка...