WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Теоретичні основи вивчення теми “закони множення і ділення” - Реферат

Теоретичні основи вивчення теми “закони множення і ділення” - Реферат


Реферат на тему:
Теоретичні основи вивчення теми "закони множення і ділення"
Теоретичною основою вивчення теми є закони множення і ділення.
§ 1. Множення і ділення з 0 і 1.
Поняття добутку цілих невід'ємних чисел можна визначити по різному. Розглянемо підхід в основі якого лежить поняття суми.
Означення. Добутком цілих невід'ємних чисел а і в називається таке ціле невід'ємне число а . в, яке задовольняє слідуючим умовам:
1) а . в = а+ ....+а при в >1;
в доданків
2) а. 1 = а при в = 1
3) а. 0 = 0 при в= 0.
Теоретико-множинний зміст цього означення слідуючий.
Якщо множини А1, А2..., А6 мають по а елементів кожне і ніякі два із них не перетинаються, то їх об'єднання містить а в елюентів. Отже, добуток а . в - це число елементів в об'єднанні з в попарно непересікаючих множин, кожна із яких містить по а елементів. Рівності а.1 = і а.0 = 0 приймаються по умові.
Дія, за допомогою якої знаходять добуток чисел а і в, називають множенням; числа, які множать, називають множниками.
Добуток любих цілих невід'ємних чисел існує, і він єдиний.
З даним означенням учня знайомляться в початкових класах. Зміст його розкривається при розв'язування простих задач.
Розглянемо таку задачу: "На кожне дитяче пальто потрібно пришити 4 гудзики. Скільки ґудзиків потрібно пришити на 6 таких пальт?"
Чому задача розв'язується за допомогою множення? Тому, що в ній потрібно знайти число елементів в об'єднанні, які стають із 6 множин, в кожному із яких по 4 елементи.
Згідно умови це число знаходиться множенням: 4.6=24 (гудзики).
Існує і друге означення добутку цілих невід'ємних чисел. Воно зв'язано з декартовим добутком множин.
Нехай дано дві множини:
А (х, у,Z) і В = (n, t ,ч, S). Знайдемо їх декартів добуток, який запишемо у вигляді прямокутної таблиці.
(x, n), ( x, t), (x, ч), (x, S),
(y, n), ( y, t), (y, ч), (y, S),
(Z, n), ( Z, t), (Z, ч), (Z, S),
В кожній лінійці всі пари мають однакову першу компоненту, а в кожному стовпчику однакова друга компонента. При цьому ніякі дві лінійки не мають хоча б одну однакову пару. Звідси випливає, що число елементів в декартовому добутку АХВ рівне 3+3+3+3=12. З другої сторони, n (А) =3,n(B)= 4 і 3 .4 = 12. Бачимо, що число елементів в Декартові добутку даних множин А і В рівне добутку n(А) . n(В).
Якщо А і В - скінчені множини, то n (А х В) =n(A) n(В).
Таким чином, добуток цілих невід'ємних чисел а і в можна розглядати як число елементів декартового добутку множин А і В, де n(А)=а, n(В) = в:
а. в = n (A x B), де n (A)=а, n (В)=в.
І в першому, і в другому випадку нами означено добуток двох чисел. А як визначити добуток кількох множників?
Нехай добуток двох множників визначено і визначено добуток n множників. Тоді добуток, який складається із n+1 множника, тобто добуток а1 . а2 . .... аn . an+1, рівний (а1 . а2 . .... аn) . an+1.
Наприклад, щоб знайти добуток 2.7.5.9 згідно цього означення. Потрібно виконати послідовно слідуючи перетворення:
2.7.5.9= (2.7.5).9= ((2.7).5).9 = (14.5).9 = 70.9=630
§ 2. Множення і ділення на основ і нумерації.
Якщо числа та і в однозначні, то, щоб знайти їх добуток, досить порахувати число елементів в Декартові добутку таких множин А і В, що n (A)=а, n (В)=в. Але, щоб виконати множення таких чисел не звертаючись до множин і рахунку, всі добутки, які одержуються при множенні двох означних чисел, запам'ятовують.
Усі такі добутки записують в таблицю, яка називається таблицею множення однозначних чисел.
Якщо числа а і в многозначні, то їх множать "стовпчиком".
Помножимо число 426 на 123.
Для одержання результату нам треба число 426 помножити на 3,2,1, тобто помножити багатоцифрове число на одноцифрове; помноживши на 2, ми результат записали по-особливому, помістивши одиниці числа 852 під десятками числа 1278, - це тому, що ми множили на 2 десятки, третій доданок 426 - це результат множення на 1 сотню. Нам прийшлося знайти суму багатоцифрових чисел.
Щоб виконати множення багатоцифрового числа на багатоцифрове, потрібно уміти:
- множити багатоцифрове число на одноцифрове;
- множити багатоцифрове число на степінь 10;
- додавати багатоцифрові числа.
Вияснило, які теоретичні основи множення багатоцифрового числа на одноцифрове і на степінь десяти.
Розглянемо процес множення числа 426 на 3. Число 426 можна записати у вигляді 4. 102+2.10+6, і тоді 426.3 = (4.102+2.10+6).3.
На основі розподільного закону множення відносно додавання перетворимо запис, розкривши дужки: (4.102).3+(2.10).3+6.3.
Переставний і сполучний закони множення позволяють доданки в цій сумі записати так: (4.3 .102.+(2.10).10+(6.3).
Добуток у дужках можна знайти за таблицею множення одноцифрових чисел: 12.102+6.10+18.
Отже, множення багатоцифрового числа на одноцифрове звелось до множення одноцифрових чисел.
Але одержаний вираз не є десятковим записом числа - коефіцієнти перед степенями 10 повинні бути менші 10. Тому 12 залишимо у вигляді 10+2, а число 18 у вигляді 10+8:
(10+2).102 + 6.10+(10+8).
Відкриємо дужки: 103+2.102+6.10+10+8
Використаємо сполучний закон множення і розподільний закон множення відносно додавання:
1 .103+2.102+(6+1).10+8
Сума 6+1 є сума одноцифрових чисел і легко знаходиться по таблиці додавання: 1.103+2.102+7.10+8.
Одержаний вираз є десятковим записом числа 1278. Отже, 426,3=1278.
Аморитм множення числа х=аnan-1…a1a0 на однозначне число у можна сформулювати так:
1. Записуємо друге число під першим.
2. Множимо цифри розряду одиниць на число у. Якщо добуток менший 10, його записуємо в розряд одиниць відповіді і переходимо до слідую чого розряду (десятків).
3. Якщо добуток цифри одиниць на число у більший або рівний 10, то записуємо його у вигляді 10.g1+С0, де С0 - одноцифрове число; записуємо С0 в розряд одиниць відповіді і запам'ятовуємо g1 - переносимо в слідуючий розряд.
4. Множимо цифру розряду десятків на числа у, додаємо до одержаного добутку число g1 і повторюємо процес, описаний в п.2. і 3.
5. Процес множення закінчується, коли буде помножена цифра старшого розряду.
Множення числа х на число вигляду 10k зводиться до приписування до десяткового запису даного числа k нулів. Дійсно, якщо х=аn.10n + an-1. 10n-1+…+a1.10+a0, то x . 10k = (an-1. 10n+an-1.10n-1+… +a1/10+a0). 10k.
Застосувавши розподільний закон множення відносно додавання і інші закони множення, одержимо:
При ділення одноцифрових чисел і двоцифрових (які не перевищують 89) на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел.
Нехай потрібно 54 поділити на 9. Шукаємо в 9-му стовпчику (9-ій лінійці) число 54. Воно знаходиться в 6-ій лінійці (6-му стовпчику). Отже, 54:9=6.
Поділимо тепер 51 на 9. В 9-му стовпчику нема числа 51. Тому візьмемо в цьому стовпчику ближче до нього менше число 45. Так як 45 знаходиться в 5-йлінійці, то неповинна частка рівна 5. Щоб знайти остачу. Віднімемо від 51 число 45: 51-45=6. Тому 51 = 9.5+6, або в шкільній символіці 51:9+5 (ост.6).
Вияснимо, як ділять багатоцифрові числа на одноцифрові. Нехай треба 238 поділити на 4. Це означає що треба знайти таку неповну частку g і остачу ч, щоб 238 = 4g+ч,
Loading...

 
 

Цікаве