WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Означення похідної. Правило знаходження похідної - Реферат

Означення похідної. Правило знаходження похідної - Реферат


Реферат на тему:
Означення похідної. Правило знаходження похідної
Нехай функція у=f(х) задана на деякому інтервалі (а; b). Візьмемо довільну точку х0, що належить цьому інтервалу. Виконаємо відомі чотири кроки.
1. Надамо значенню х0 довільного приросту ?х (число ?х може бути як додатним, так і від'ємним), але такого, щоб точка х0+?х належала інтервалу (а,b).
2. Обчислимо в точці х0 приріст ?у = ?f(х0) функції:
?у = ?f(х0)= (х0+?x)-f(x0)
3. Складемо відношення
4. Знайдемо границю цього відношення при ?x?0, тобто
Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції y = f(x) у точці x0 і позначають f'(x0) а^° y'.
Похідною функції у = f(x) у точці х0 називається границя відношення приросту ?у функції до приросту ?x аргументу за умови, що приріст A.V аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто
Похідна показникової функції. Вивчаючи показникову функцію, ми переконалися в тому, що графіки показникових функцій мають вигляд гладких кривих (без зломів), до яких у кожній точці можна провести дотичну. Відомо також, що існування дотичної до графіка функції в точці рівносильне її диференційованості у цій точці. У вищій математиці доведено, що показникова функція диференційована в кожній точці, і похідну показникової функції за основою е обчислюють дуже просто, а саме:
(8)
Нагадаємо, що ln - натуральний логарифм, який обчислюють за формулою
ln x = loge (9)
За основною логарифмічною тотожністю для будь-якого додатного числа а виконується рівність
а = еln a. (10)
Тому будь-яку показникову функцію можна записати у вигляді
ax=еx ln a. (11)
Для цього треба піднести до степеня jc обидві частини рівності (10).
За допомогою формули (11) ізастосовуючи правило обчислення похідної складної функції, одержуємо формулу похідної будь-якої показникової функції для будь-якого показника х
(ax)' = (еx ln a)' = еx ln a(xln a)' = аx ln а.
Отже,
(аx)' = аx ln а.
Похідна логарифмічної функції. Розглянемо функцію у = ln x знайдемо її похідну. Доведемо, що при будь-якому х > 0 виконується рівність
ln's = . (12)
За основною логарифмічною тотожністю x = eln x при всіх додатних .V у цій рівності ліворуч і праворуч стоїть одна і та сама функція (визначена на множині R+). Тому похідні х і In x рівні,
тобто
x' = (eln x)' (13)
Для знаходження похідної правої частини рівності скористаємося правилом знаходження похідної складної функції і тим, що показникова функція ех диференційована у кожній точці та (аx)' = еx. Переконаємося, що логарифмічна функція диференційована у кожній точці. Справді, графіки функцій y=logax і у = ах симетричні відносно прямої у = х.
Оскільки показникова функція диференційовна у будь-якій точці, а її похідна не перетворюється в нуль, то графік показникової функції має негоризонтальну дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальну дотичну в будь-якій точці, що рівносильно диференційованості логарифмічної функції на області її визначення. Отже,
(eln x)' = eln x ln'x = xln'x
Взявши до уваги, що x' = l, та підставивши знайдений результату рівність (13), одержимо l =x ln'x, звідки
ln'х = .
Розглянемо функцію у = loga х і доведемо, що у' =
Справді, оскільки Ioga x = , то
(Ioga x)' = (ln x)' =
Отже,
(Ioga x)' = =
а) у = ln3х; б) у = ln(3х +5)
Розв'язання:
a) y' =(ln3x)'= .
Loading...

 
 

Цікаве