WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття та логіка предикатів - Реферат

Поняття та логіка предикатів - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Поняття та логіка предикатів
1.Поняття предиката
Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорія, є важливою i невiд'ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.
Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як вихiдний об'єкт дослiдження, неподiльне цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну властивiсть - бути або iстинним, або хибним.
Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильних висновкiв з урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна теорiя, що дiстала назву числення предикатiв.
Теорiя предикатiв починається з аналізу граматичної будови простих висловлень i ґрунтується на такому висновку: простi висловлення виражають той факт, що деякi об'єкти (або окремий об'єкт) мають певнi властивостi, або що цi об'єкти знаходяться мiж собою у певному вiдношеннi.
Наприклад, в iстинному висловленнi "3 є просте число" пiдмет "3" - це об'єкт, а присудок "є просте число" виражає деяку його властивiсть.
У латинськiй граматицi присудок називається предикатом, звiдси цей термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є саме друга складова речення-висловлення - присудок-властивiсть. Вона фiксується, а значення об'єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.
Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 3 на 1, 5, 9 або 12, матимемо вiдповiдно такi висловлення: "1 є просте число", "5 є просте число", "9 є просте число", "12 є просте число", з яких друге є iстинним, а решта - хибними висловленнями.
Таким чином, можна розглянути вираз "x є просте число", який не є висловленням, а є так званою пропозицiйною (висловлювальною) формою. Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра (змiнної) x об'єктiв (значень) з певної множини M, дiстаємо висловлення.
Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми "a є українцем", "b i c є однокурсники", "c важче d", або "точка x лежить мiж точками y i z". У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв a, b i c прiзвища конкретних людей. У третю замiсть c i d назви будь-яких об'єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M значень змiнних x, y i z є множина точок певної прямої.
Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi, певну властивiсть для об'єкта a. Iншi три форми описують деякi вiдношення мiж вiдповiдними об'єктами.
Розглянувши конкретнi приклади i коротко зупинившись на мотивацiї та змiстовнiй iнтерпретацiї подальших понять, перейдемо до формальних математичних означень.
n-мiсним предикатом P(x1,x2,...,xn) на множинi M називається довiльна функцiя типу Mn B, де B = {0,1} - бульовий (двiйковий) алфавiт.
Множина M називається предметною областю, або унiверсальною множиною, а x1,x2,...,xn - предметними змiнними, або термами предиката P.
Множина елементiв (a1,a2,...,an) Mn таких, що P(a1,a2,...,an) = 1 називається областю iстинностi (або характеристичною множиною) предиката P.
Якщо P(a1,a2,...,an) = 1, то згiдно з логiчною iнтерпретацiєю будемо говорити, що предикат P є iстинним на (a1,a2,...,an). У противному разi, казатимемо, що предикат P є хибним.
Взагалi кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як функцiю типу M1 M2 ... Mn B, дозволивши різним його аргументам приймати значення з рiзних множин. Iнодi це буває доцiльним; однак частiше в логiцi предикатiв використовують наведене ранiше означення.
Неважко зрозумiти, що пропозицiйна форма є одним зi способiв задання предиката.
Для n = 1 предикат P(x) називається одномiсним або унарним, для n = 2 P(x,y) - двомiсним або бiнарним, для n = 3 P(x,y,z) - трьохмiсним або тернарним предикатом.
Очевидно, що коли в n-арному предикатi P(x1,x2,...,xn) зафiксувати деякi m змiнних (тобто надати їм певних значень з множини M), то отримаємо (n-m)-мiсний предикат на множинi M. Це дозволяє вважати висловлення нульмiсними предикатами, якi утворено з багатомiсних предикатiв пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметрів певних значень з предметної областi. Таким чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок предиката.
Для довiльної множини M i довiльного n iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх n-мiсних предикатiв на M i множиною всiх n-арних вiдношень на M. А саме, будь-якому предикату P(x1,x2,...,xn) вiдповiдає вiдношення R таке, що (a1,a2,...,an) R тодi i тiльки тодi, коли P(a1,a2,...,an) = 1. Очевидно, що при цьому R є областю iстинностi предиката P.
Крiм того, за будь-якою вiдповiднiстю C мiж множинами A i B (тобто C A B) можна побудувати бiнарний двосортний предикат P(x,y) таким чином: P(a,b) = 1 тодi i тiльки тодi, коли (a,b) C для a A i b B.
Зокрема, будь-якiй функцiональнiй вiдповiдностi або функцiї f: Mn M можна поставити у вiдповiднiсть (n+1)-мiсний предикат P на M такий, що P(a1,a2,...,an,an+1) = 1 тодi i тiльки тодi, коли f(a1,a2,...,an) = an+1.
Отже, такi фундаментальнi математичнi поняття як вiдповiднiсть (зокрема, функцiя), вiдношення, висловлення можна розглядати як окремi випадки бiльш загального поняття предиката.
2. Логiка предикатiв
Як з елементарних висловлень за допомогою логiчних операцiй можна утворювати складенi висловлення, так i, використовуючи простi (елементарнi) предикати i логiчнi зв'язки (операцiї), можна будувати складенi предикати або предикатнi формули.
Як правило, основнi логiчнi операцiї , , , , ~ означають для предикатiв, що заданi на однiй i тiй самiй предметнiй областi M i залежать вiд тих самих змiнних.
Нехай P(x1,x2,...,xn) i Q(x1,x2,...,xn) - n-мiснi предикати на множинi M.
Кон'юнкцiєю P(x1,x2,...,xn) Q(x1,x2,...,xn) називають предикат R(x1,x2,...,xn), який набуває значення 1 на тих i тiльки тих наборах значень термiв, на яких обидва предикати P(x1,x2,...,xn) i Q(x1,x2,...,xn) дорiвнюють 1.
Очевидно, що область iстинностi предиката R(x1,x2,...,xn) = P(x1,x2,...,xn) Q(x1,x2,...,xn) збiгається з теоретико-множинним перетином областей iстинностi предикатiв P(x1,x2,...,xn) i Q(x1,x2,...,xn).
Диз'юнкцiєю P(x1,x2,...,xn) Q(x1,x2,...,xn) називають предикат T(x1,x2,...,xn), який набуває значення 1 на тих i тiльки тих наборах значень термiв, на яких або предикат P(x1,x2,...,xn), або предикат Q(x1,x2,...,xn) дорiвнює 1.
Областю iстинностi предиката T(x1,x2,...,xn) буде об'єднання областей iстинностi предикатiв P(x1,x2,...,xn) i Q(x1,x2,...,xn).
Запереченням P(x1,x2,...,xn) предиката P(x1,x2,...,xn) називають предикат S(x1,x2,...,xn), який дорiвнює 1 на тих i лише тих значеннях термiв, на яких предикатP(x1,x2,...,xn) дорiвнює 0.
Область iстинностi предиката S(x1,x2,...,xn) = P(x1,x2,...,xn) - це доповнення (до множини Mn) областi iстинностi предиката P(x1,x2,...,xn).
Аналогiчним чином вводять й iншi логiчнi операцiї , ~ тощо. Як правило, кожнiй iз цих операцiй вiдповiдає певна теоретико-множинна операцiя над областями iстинностi предикатiв-операндiв. Неважко узагальнити означення всiх введених операцiй для предикатiв P(x1,x2,...,xn) i Q(y1,y2,...,ym), що залежать вiд рiзних змiнних i мають рiзну мiснiсть.
Знаючи, як виконуються окремi операцiї, можна утворювати вирази або формули, операндами яких є предикати. Наприклад розглянемо формулу P1(x) ( P3(x,z) P2(y,x,z)), що задає деякий предикат Q(x,y,z). Значення предиката Q неважко обчислити для будь-якого набору значень його термiв x, y, z, виходячи зi значень предикатiв P1, P2, P3 на цьому наборi.
Loading...

 
 

Цікаве