WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена - Реферат

Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена - Реферат

2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.
Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:
(41)
З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:
а) знайти похідні f?(х), f?(х), ...., fп(х), ...;
б) обчислити значення похідних в точці х = 0;
в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;
г) визначити інтервал (-R; R), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) ? 0 при п ? ?.
Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:
Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам'ятати):
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
Доведемо формули (42) - (48).
1. Нехай f (x)=ex. Маємо:
а) б) в)
отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (- ?;+ ?);
г)
тому за теоремою 3 (п.2.4.) функцією ех можна розкласти в степеневий ряд на довільному інтервалі (- R; R) (-?; + ?), а отже, і на всьому інтервалі (-?; + ?). Формулу (42) доведено.
2. Нехай f (x) = sin x. Дістанемо
а) f'(x) = cos x = sin (x + );
fn(x) = sin x = sin (x + 2 );
f'''(x) = cos x = sin (x + 3 );
……………………………..
fn(x) = sin (x + 2 ), n N;
б) fn(0) = sin n =
в) (-1)n = ;
R= lim = =
г) x тобто формулу (43) доведено.
3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).
4.Нехай f(х) =(1+x)m, m R.Маємо:
а) f'(x) =m(1+x)m-1, fn(x) =m(m-1) (1+x)m-2,…,
f(n)(x) =m(m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;
б) f(n)(0) =m(m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;
в) 1+ mx
+
R=
тобто знайдений ряд збіжний в інтервалі (1,1). Доведення, що на цьому інтервалі , опускаємо.
Ряд (45) називають біноміальним. Якщо дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.).
Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить від числа m.
Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:
при m, якщо ;
при -1при m , якщо .
Приймемо ці твердження без доведення.
5. Нехай f(x) = . Формулу (46) виводимо трьома способами: користуючись правилом розкладання функції в ряд; застосувавши формуу (45) і поклавши в ній m=-1 і -x замість х; розглядаючи ряд 1+х+х2+...хn+... як геометричну прогресію, перший член якої дорівнює одиниці, а знаменний q=x. Відомо (п.1.1), що даний ряд збіжний при і сума його дорівнює (1-х)-1.
6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46) покласти - х замість х, потім - х2 замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln(1+x) і функції arctg x (формули (47), (48)).
Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.
Приклади
1.Розкласти в ряд функцію f(x) = x2 ln (1-x3).
Поклавши у форму (47) - х3 замість х, маємо
ln(1-x3)=-x3-
x2 ln(1-x3) =-x5-
Loading...

 
 

Цікаве