WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Алгебра висловлень - Реферат

Алгебра висловлень - Реферат


РЕФЕРАТ
На тему:
Алгебра висловлень
Носієм алгебри висловлень є множина так званих простих висловлень.
Просте (елементарне) висловлення (висловлювання) - це просте твердження, тобто розповідне речення, щодо змісту якого доречно ставити питання про його правильність або неправильність.
Прості висловлення, в яких виражено правильну думку, називатимемо істинними, а ті, що виражають неправильну, - хибними.
Поняття простого (елементарного) висловлення, поняття істинності і хибності належать до первинних невизначальних понять математики, тобто вони не можуть бути означені через інші більш прості терміни та об'єкти, а пояснюються на прикладах, апелюючи до нашої уяви та інтуїції. До таких понять в математиці належать поняття "число", "пряма", "точка", "площина" тощо.
Наведемо декілька прикладів елементарних висловлень:
1) Київ - столиця України.
2) Число 7 є простим.
3) Число 10 більше від числа 3.
4) Усі натуральні числа є простими.
5) Множина всіх простих чисел є скінченною.
Перші три висловлення є істинними, а два останніх - хибними.
У той же час речення "Хай живе математична логіка!" або "Уважно прочитайте весь цей розділ" не є висловленнями.
Розглядаючи висловлення, виходитимо з двох основних припущень:
1) кожне висловлення є або істинним, або хибним (закон виключення третього);
2) жодне висловлення не є одночасно істинним і хибним (закон виключення суперечності).
Приймаючи ці припущення, ми стаємо на точку зору класичної (традиційної) двозначної логіки. У ХХ столітті виникли і продовжують досліджуватись так звані некласичні логіки: багатозначна логіка, інтуїціоністська (конструктивна) логіка, модальна логіка. У подальшому ми додержуватимемося принципів класичної логіки, в рамках якої проводитимуться всі математичні міркування.
Позначатимемо елементарні висловлення малими латинськими літерами: a,b,c,... (можливо, з індексами), а значення висловлень "Iстинно" і "Хибно" - відповідно символами 1 і 0 або I і Х.
Крім того, розглядатимемо так звані змінні висловлення, які позначатимемо латинськими літерами x,y,z,... (можливо, з індексами) і називатимемо також пропозиційними змінними. Після підстановки замість пропозиційної змінної певного елементарного висловлення ця змінна набуде відповідного значення: 0 або 1.
Сигнатура алгебри висловлень традиційно складається з таких операції: заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція та імплікація.
У таблиці 5.1 наведені різні назви та позначення, які використовують для зазначених операцій.
Таблиця 5.1
Назва Позначення
Кон'юнкція
Логічне множення
Логічне "І"
Диз'юнкція
Логічне додавання
Логічне "АБО"
Заперечення
Логічне "НІ"
Імплікація
Логічне слідування
Використовуватимемо перші з наведених назв та позначень. Нижче подано таблицю 5.2, що містить означення цих операцій.
Таблиця 5.2
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 1 1 0 1
Застосовуючи до елементарних висловлень і пропозиційних змінних означені операції, діставатимемо складені висловлення, яким відповідатимуть так звані формули або вирази алгебри висловлень. Для запису цих формул, дослідження їхніх властивостей і співвідношень між формулами та висловленнями використовують формальні мови, тобто певні множини слів у деякому алфавіті.
Алфавіт найбільш поширеної формальної мови алгебри висловлень складається з трьох груп символів:
1) символи елементарних висловлень та пропозиційних змінних: a,b,c,... і x,y,z,... (можливо з індексами);
2) символи операцій: , , , ;
3) допоміжні символи - круглі дужки: ( і ).
З пропозиційних змінних і елементарних висловлень за допомогою операцій і дужок будуються пропозиційні формули або просто формули алгебри висловлень за такими індуктивними правилами:
1) всі пропозиційні змінні та елементарні висловлення є формулами;
2) якщо A і B - формули, то вирази (A B), (A B), ( A), (A B) також є формулами;
3) інших формул, ніж побудовані за правилами 1) і 2), немає.
Традиційно формули алгебри висловлень позначають великими готичними літерами, але для зручності позначатимемо їх великими латинськими літерами.
Кожна формула A зображує форму або схему складеного висловлення: вона перетворюється у висловлення якщо замість її пропозиційних змінних підставити будь-які висловлення. Оскільки кожне з підставлених висловлень має значення 0 або 1, то послідовно обчислюючи значення всіх підформул формули A, одержимо значення формули A на цьому наборі висловлень, яке дорівнюватиме 0 або 1. Підставляючи у формулу A замість її пропозиційних змінних інший набір висловлень, аналогічним чином обчислимо нове значення формули A і т.д. Оскільки кожне з висловлень набору повністю характеризується своїм значенням (істинно або хибно, тобто 1 або 0), то замість пропозиційних змінних у формулу можна підставляти не самі висловлення, а їхні значення - 1 або 0.
Нехай p1,p2,...,pn - це всі пропозиційні змінні, що входять у формулу A; будемо позначати цей факт A(p1,p2,...,pn). Формулі A(p1,p2,...,pn) поставимо у відповідність функцію f (p1,p2,...,pn), що означена на множині Bn (B={0,1}) і приймає значення у множині B, тобто функцію типу Bn B. Значення функції f на наборі значень a1,a2,...,an її змінних p1,p2,...,pn дорівнює значенню формули A(p1,p2,...,pn) при підстановці в неї замість пропозиційних змінних p1,p2,...,pn значень a1,a2,...,an відповідно.
Зауважимо, що кількість елементів в області визначення функції f дорівнює 2n, тобто |Pr1f |=2n.
Функцію f називають функцією істинності для формули A або відповідного складеного висловлення. Для функції істинності може бути побудована так звана таблиця істинності цієї функції (див.таблицю 5.3).
Таблиця 5.3
p1 p2 ...... pn-1 pn f (p1,p2,...,pn-1,pn)
0 0 ... 0 0
0 0 ... 0 1
0 0 ... 1 0
0 0 ... 1 1
.........................
1 1 ... 1 0
1 1 ... 1 1 f (0,0,...,0,0)
f (0,0,...,0,1)
f (0,0,...,1,0)
f (0,0,...,1,1)
.....................
f (1,1,...,1,0)
f (1,1,...,1,1)
Серед формул алгебри висловлень особливе місце займають ті формули A(p1,p2,...,pn), які на всіх наборах (a1,a2,...,an) значень своїх змінних набувають значення 1.
Формула алгебри висловлень A(p1,p2,...,pn) називається тавтологією тоді і тільки тоді, коли їй відповідає функція істинності, яка тотожно дорівнює 1.
Тавтології ще називають тотожно істинними формулами, або законами алгебри висловлень. Аналогом тавтології у природній мові є поняття істинного твердження.
Наведемо приклади деяких важливих тавтологій:
(p ( p)) (закон виключення третього),
( (p ( p))) (закон виключення суперечності),
(p p) (закон тотожності).
Довести, що ці формули є тавтологіями можна за допомогоювідповідних таблиць істинності. Той факт, що формула A алгебри висловлень є тавтологією позначають так =A. Символ =, як і A належать метамові.
Формула алгебри висловлень A(p1,p2,...,pn), яка набуває
Loading...

 
 

Цікаве