WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Геометричне застосуваня визначених інтегралів - Реферат

Геометричне застосуваня визначених інтегралів - Реферат

формулою, об'єм тіла, утвореного обертанням даної трапеції навколо осі Ох, Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції і прямими , то об'єм тіла, утвореного обертанням даної трапеції навколо Оу, знаходять за формулою
Приклади
Знайти об'єм тіла
У перерізі еліпсоїда площиною, паралельною площині Оуz на відстані х від неї, утворюється еліпс
з півосями Площа такого еліпса дорівнює
тому за формулою маємо
Зокрема, якщо а = b =c =R, еліпсоїд перетворюється в кулю, і в цьому випадку
Знайти об'єм обертанням тіла, утвореного в прикладі 2.
За формулами маємо:
4.ПЛОЩА ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ.
Нехай крива, задана неперервною функцією обертається навколо осі Ох. Перетнемо поверхню обертання двома площинами, які проходять через точки х та х + dx, паралельно Оуz. Замінемо утворену між перерізами фігуру зрізаним конусом, твірна якого дорівнює , а радіуси основ дорівнюють f(x) та (x + dx). Якщо висота конуса dx досить мала, то площа dQ бічної поверхні цієї фігури дорівнює площі бічної поверхні зрізаного конуса, тобто маємо диференціал площі [5].
Інтригуючи, знайдемо всю площу поверхні обертання:
Приклад
Обчислити площу поверхні частини параболоїда, утвореного обертанням навколо осі Ох параболи
За формулою знаходимо
5. ОБЧИСЛЕННЯ РОБОТИ.
Нехай під дією сили F=F (x) матеріальна точка рухається вздовж прямої лінії. Якщо напрям руху збігається з напрямом сили, то, як відомо , роботаА, виконана з цією силою при переміщенні точки на відрізок [a; b], обчислюється за формулою
Приклади
1. Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси m підняти з поверхні Землі вертикально вверх на висоту h, якщо радіус Землі дорівнює R.
Згідно з законом Ньютона, сила F притягання тіла Землею дорівнює
де М- маса Землі; - гравітаційна стала; х - відстань від центра тіла до центра Землі. Покладемо сталу mM =k, тоді
При х = R сила F(R) дорівнює вазі тіла P = mg, тобто звідки k=PR2, F (x) = PR2 x-2. За формулою маємо
2. Яка робота виконується під час стискання гвинтової пружини на 5 см, якщо для стискання пружини на 1 см витрачається сила 4 Н. Стиск гвинтової пружини пропорційний прикладеній силі.
Сила F і стискання х за умовою пропорційні: F = kx, де k - стала. При х = 0,01 м, F = 4 Н, тому з рівності 4 = k * 0,01 знаходимо k = 400, отже F (x) = 400 x, Тому за формулою маємо
3. Нехай у циліндрі з рухомим поршнем знаходиться деяка кількість газу. Припустимо, що цей газ розширився і пересунув поршень вправо. Яку роботу виконує при цьому газ?
Нехай s1 i s2 - початкова і кінцева відстані поршня від лівого дна циліндра; s - шлях, на який перемістився поршень; р - тиск газу на одиницю площі поршня; Q - площа поршня. Оскільки вся сила, що діє на поршень, дорівнює pQ, то виконана при виштовхувані поршня робота А виразиться інтегралом
Позначаючи об'єм кількості газу через V, дістанемо, що V = Qs. Переходячи в інтегралі від змінної s до нової змінної V, виразимо роботу через об'єм:
де V1 i V2 - початкове і кінцеве значення об'єму V.
Зокрема, якщо йдеться про ізотермічний процес розширення газу, то, згідно з законом Бойля - Марієтта, pV = c (C = const) і тоді робота
Якщо розглядається адіабатичний процес розширення ідеального газу, то за законом Пуассона маємо - характерна для кожного газу стала. Звідси p = CV-k, тому робота
4. Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати рідину з конічного резервуара, оберненого вершиною вниз. Радіус і висота конуса дорівнюють відповідно R і H.
5. Вважатимемо елементарний шар рідини, що знаходиться на глибині х, циліндром, який має висоту dx і радіус у. Тоді вага dP цього шару дорівнює , де - густина рідини, g - прискорення вільного падіння, dV - об'єм циліндра. З подібності трикутників AOD і CBD знаходимо у:
тому
Елементарна робота, яку необхідно затратити, щоб підняти цей шар рідини на висоту х, дорівнює
тому
6. ОБЧИСЛЕННЯ ТИСКУ РІДИНИ НА ВЕРТИКАЛЬНУ ПЛАСТИНУ.
Як відомо, тиск рідини на горизонтальну площадку, занурену в рідину, визначається за законом Паска ля: тиск Р рідини на площадку дорівнює її площі S, помноженій на глибину занурення h, густину рідини і на прискорення вільного падіння g:
Якщо в рідину занурити не горизонтальну площадку, то її різні точки лежатимуть на різних глибинах і цією формулою користуватись не можна. Проте якщо площадка дуже мала, то всі її точки лежать на майже одній глибині, яку вважають за глибину занурення площадки. Це дає змогу знайти диференціал тиску на елементарну площадку, а потім тиск на всю поверхню.
Приклад
Знайти тиск рідини на вертикально занурений в рідину півкруг, діаметр якого дорівнює 2R і знаходиться на поверхні рідини.
Нехай елементарна площадка знаходиться на глибині х. Вважаючи її прямокутником з основою 2у і висотою dx, знайдемо за законом Паска ля диференціал тиску:
Звідси
?
Література:
1. Барковський В.В. Барковська Н.В. "Математика для економістів". Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997 р. - 397 ст.
2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - к.: А.С.К., 2001 р.
3. Овчинников П.П. Вища математика. - К.: Техніка, 2000 р
4. Барковський В.В. Барковська Н.В. "Математика для економістів". Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997 р. - 397
Loading...

 
 

Цікаве