WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Геометричне застосуваня визначених інтегралів - Реферат

Геометричне застосуваня визначених інтегралів - Реферат


Реферат на тему:
Геометричне застосуваня визначених інтегралів.
План:
1. Обчислення площ плоских фігур.
2. Обчислення довжини дуги.
3.Обчислення об'єму тіла.
4. Обчислення площі поверхні обертання.
5. Обчислення роботи.
6. Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину.
?
1. ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР.
Як уже зазначилось (п.2.2), якщо на відрізку [a; b] функція y = f (x) неперервна і f(x) 0, то площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f (x) і прямими х = а, х = b, y = 0 (рис. 7.4), знаходять за формулою
у (69)
B2 у
А2
G в
0 х
А1
у=f(x) 0 а с d в х
B
Рис. 7.23 Рис. 7.24
Часто буває, що фігура, площу якої треба знайти, не є криволінійною трапецією. Якщо f (x) на [a; b], то фігура аА1 В1b лежить під віссю Ох (рис. 7.23). Площа цієї фігури дорівнює площі криволінійної трапеції аА2В2b, яка обмежена зверху кривою - f (x) 0; тоді за формулою (69) маємо
(70)
Формули (69) і (70) можна об'єднати в одну:
(71)
Ця формула залишається справедливою, якщо функція f (x) на відрізку [a; b] скінченне число разів змінює знак (рис. 7.24):
Якщо треба обчислити площу фігури А1А2В2В1 (рис. 7.25), то за формулою (69)
(72)
у
0 а в х
тобто площу фігури, обмеженої кривими y = f1(x) та у = f2 (x) і прямими х = а та х = b за умови, що f2 (x) f1(x) , знаходять за формулою (72).
Якщо плоска фігура має складнішу форму (рис. 7.26), то прямими, паралельними осі Оy, її треба розбити на скінченну суму (різницю) криволінійних трапецій. Тоді площа фігури дорівнюватиме алгебраїчній сумі площ утворених трапецій.
Розглянемо випадок, коли криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично:
де - неперервні функції, які мають на відрізку неперервні похідні та Тоді якщо x(t) на відрізку є монотонною, причому , то для обчислення площі криволінійної трапеції досить в інтегралі (69) зробити зміну змінної х = х(t), Дістанемо формулу
(73)
Тепер розглянемо плоску фігуру ОАВ, обмежену кривою, заданою в полярній системі координат неперервною функцією і променями і (рис. 7.27). Таку фігуру називають криволінійним сектором.
Обчислимо площу S сектора ОАВ. Розіб'ємо відрізок точками
на відрізки і на кожному з них візьмемо довільну точку . Елементи площі, обмеженої кривої і променями та наближеного дорівнює площі кругового сектора, обмеженого тими самими променями і дугою кола радіуса :
.
Сума дорівнює площі ступінчатого сектора і є інтегральною сумою для функції на відрізку , тоді природно вважати, що
Отже, площа криволінійного сектора обчислюється за формулою
(74)
Приклади
1. Знайти площу фігури, обмеженої прямою у = х і параболою у = 2 - х2 (рис. 7.28) .
Знайдемо абциси точок перетину даних ліній. Розв'язуючи систему рівнянь
дістанемо х1 = -2, х2 = 1. Це і є межі інтегрування.
За формулою (72) знаходимо площу:
Знайти площу фігури, обмеженої еліпсом
Оскільки еліпс симетричний відносно обох координатних осей, то шукана площа дорівнює почетверенній площі фігури, яка знаходиться в першій чверті. За формулою (73).
3. Обчислити площу, обмежену "трипелюстковою розою"
(рис. 3.4).
Рис. 7.27 Рис. 7.28
Знаходимо площу пів пелюстки "рози" і множимо на шість. Тому за формулою (74).
2. ОБЧИСЛЕННЯ ДОВЖИНИ ДУГИ.
Як видимо (п.7.3, гл. 5), диференціал dl довжини дуги гладкої кривої, заданої функцією y=f(x), знаходять за формулою Тому довжина дуги
(75)
Якщо крива задана параметрично: x = x(t), y = y(t), , то
тому її довжина
(76)
Нехай тепер гладка крива задана рівнянням в полярних координатах. Якщо в рівностях параметром вважати кут , то
тому з формули (76) знаходимо
(77)
Довжину дуги гладкої просторової кривої, заданої рівнянням
обчислюють за формулою, аналогічною формулі (76):
Приклади
1. Знайти довжину дуги параболи від точки О(0;0) до точки
А
Оскільки то за формулою (75) одержимо
2. Знайти довжину однієї арки циклоїди (рис. 3.6):
Скористаємося формулою (76):
3. Знайти довжину кардіоїди (рис. 3.8, б): .
Змінюючи полярний кут від 0 до , одержимо половину шуканої довжини.
Тому за формулою (77) маємо
3. ОБЧИСЛЕННЯ ОБ'ЄМУ ТІЛА.
Нехай треба знайти об'єм тіла, якщо відомі площі S перерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до деякої осі, наприклад Ox: S = S (x),
Перетнемо, тіло двома площинами, які проходять через точки х та х + dx , перпендикулярно до осі Ох. тоді утворену між перерізами фігуру можна вважати циліндром з основою S (x) і висотою dx, тому диференціал об'єму dV = S (x) dx , і якщо х змінюється від а до b, то об'єм тіла
Ця формула називається формулою об'єму тіла за площами паралельних перерізів.
Розглянемо, зокрема, об'єм тіл обертання. Нехай криволінійна трапеція обмежена зверху графіком неперервної функції y = f (x), Якщо цю трапецію обертати навколо осі Ох, то утвориться просторова фігура, яка називається тілом обертання. Оскільки площа паралельного перерізу то, згідно з
Loading...

 
 

Цікаве