WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду - Реферат

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду - Реферат


Реферат на тему:
Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду.
?
План:
1. Степеневі ряди.
2. Теорема Абеля.
3. Радіус збіжності.
4. Область збіжності степеневого ряду.
1. Степеневий ряд.
Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду
а+ а х +a X2+...+ а x +...= а х (28)
a , a … a - дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.
Степеневим рядом за степенями двочлена х - хо, де x - дійсне число, називають функціональний ряд вигляду:
а a (x-x )+ ... +а (х-х ) + …= (29)
Ряд (29) заміною змінної х- х = t зводиться до ряду вигляду (28), тому надалі розглядатимемо лише степеневі ряди вигляду (28).
Всякий степеневий ряд вигляду (28) збіжний в точці х = 0 до суми S = а . Тому область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну точку.
а +а х + а x + ... a x + ... абсолютно і рівномірно збіжний на будь-якому відрізку /-р; р], який цілком міститься в інтервалі збіжності (- R, R).
За умовою р < R. Візьмемо точку Хо Є (р; R). За теоремою Абеля:
ряд збіжний. Для довільної точки х є 1- р, р] виконується нерівність
, тому за ознакою Вейєрштрасса ряд (28) абсолютно і рівномірно збіжний.
З цієї властивості і властивостей 1°-3° функціональних рядів (п. 2.1) випливають такі твердження:
1°. Сума степеневого ряду (28) неперервна всередині його інтервалу збіжності.
2°. Якщо межі інтегрування а та Ь лежать всередині інтервалу збіжності (-R; R)-ряду (24), .то на відрізку |а; Ь| цей ряд можна по-членно інтегрувати.
Зокрема, якщо ряд (28) інтегрувати по відрізку [0; х], де / х /< R, то в результаті дістанемо степеневий ряд, який має той самий інтервал збіжності, що і ряд (28); при цьому, якщо S (х) - сума ряду (28):
S(x) =
3°. Якщо ряд (28) має інтервал збіжності (- R; R), то ряд, утворений диференціюванням ряду (28), має той самий інтервал збіжності (- R; R) ; при цьому, якщо S (х) - сума ряду (28), то:
S(x)= є (-R; R).
Таким чином, ряд (28) на відрізку [0; х], х < R, можна інтегрувати і диференціювати скільки завгодно раз в будь-якій точці х є (- R; R) При цьому інтервалом збіжності кожного ряду є той самий інтервал (-R, R).
Сформульовані властивості степеневих рядів широко використовуються в теоретичних дослідженнях і наближених обчисленнях.
Приклад:
Знайти суму даного ряду:
Позначимо суму даного ряду через S (х), тоді:
S(x)=
Цю суму можна розглядати як геометричну прогресію з першим членом a = 1 і знаменником q = -x2. Знайшовши суму прогресії, дістанемо:
S (x)=
Інтегруючи цю рівність на відрізку , маємо:
Звідки:
x-
2. Теорема Абеля.
Якщо степеневий ряд (28) збіжний при х = х , то він абсолютно збіжний для всіх значень х, що задовольняють нерівність х оо. Звідси випливає, що : п=0, послідовність (а x ) обмежена, тобто існує таке число М, що:
п =0,1,2,....
Тобто модуль кожного члена ряду (28) не перевищує відповідного члені збіжної геометричної прогресії. Тоді за ознакою порівняння при ряд (28) абсолютно збіжний. Нехай тепер ряд розбіжний, при х = х Тоді ряд (28) буде розбіжним і для всіх х, що задовольняють нерівність / х / >/ х /. Справді, якби припустити, що він збіжний в якій-небудь точці х, що
задовольняє цю нерівність, то за доведеним він був би збіжним і в точці А/ бо І хі І < І х . А це суперечить тому, що в точці хі ряд розбіжний.
Теорема Абеля характеризує множини точок збіжності та розбіжності степеневого ряду. Дійсно, якщо Хо точка збіжності ряду (28), то весь інтервал (- ) заповнено точками абсолютної збіжності цього ряду . Якщо x - точка розбіжності ряду (28), то вся нескінченна напівпряма ( - оо; - хі)) зліва від точки - | х, і вся нескінченна напівпряма (| х |; + оо) справа від точки | х, 1 складається з точок розбіжності цього ряду. Отже, для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки: 1) ряд (28) збіжний лише в точці х = 0; 2) ряд (28) збіжний при всіх х є (_ -оо; + 00); 3) існує таке скінченне число R є (0;+ 00), що при 1 х І R - розбіжний.
Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал ( - R; R) - інтервалом збіжності.
Вкажемо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду. Складемо ряд із модулів членів ряду (28) п=0.
Припустимо, що існує границя
lim x
Згідно з ознакою Д'Аламбера, ряд (28) є абсолютно збіжним при LI х I < 1, або 1 х I 1, або | х > .
Отже, інтервал ( ; ) є інтервалом абсолютної збіжності ряду (28), а число
R = =
його радіусом збіжності. Аналогічно скориставшись ознакою Коші, можна встановити, що: R=[im
Зауваження 1. Неважко переконатись, що коли L=lim або L= lim ,то ряд (28) є абсолютно збіжним на всій числовій осі. У цьому разі вважають R = + 00. Якщо ж L = о, то R = 0, і степеневий ряд має лише одну точку збіжності х = 0.
Зауваження 2. Питання про збіжність ряду при х = ± R (на кінцях інтервалу збіжності) розв'язується для кожного ряду окремо. Таким чином, область збіжності степеневого ряду може відрізнятись від інтервалу
(-R; R) не більше ніж двома точками х = ± R.
Зауваження 3. Радіус збіжності ряду (29) визначається за тими самими формулами (ЗО) і (31), що і ряду (28).
Інтервал збіжності ряду (29) знаходять з нерівності / х хо/ Зауваження4. На практиці інтервал збіжності степеневого ряду часто знаходять за ознакою Д'Аламбера або ознакою Коші, застосовуючи їх до ряду, складеного з модулів членів заданого ряду.
3. Проміжок збіжності степеневого ряду. Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду а0 + а1 (х - х0) + а2(х - х0)2 + ... + аn (х - х0)n + ... , або, що те саме, де аn, n = 1, 2, ..., - сталі дійсні числа, які називаються коефіцієнтами степеневого ряду, а х0 -довільне фіксоване дійсне число.
Теорема 1. (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд збігається в точці , 0, то він абсолютно збігається в будь-якій точці х, для якої |х| < | |.
Із збіжності ряду
випливає, що його загальний член прямує до 0 при n , а отже, послідовність (аn n) обмежена, тобто існує таке М R, що
(1)
Візьмемо тепер будь-яке х, для якого |х| | |, й утворимо ряд
(2)
Оскільки
n = 1, 2, ... ,
і члени ряду (2) не перевищують відповідних членів збіжної геометричної прогресії (зі знаменником | | 1:
за першою порівняльною ознакою збіжності додатних рядів, ряд збіжний. У такому випадку, як відомо, ряд абсолютно збіжний, що й потрібно було довести.
У точці х = 0 збігається, очевидно, будь-який ряд). Проте є степеневі ряди, які, крім того, не збігаються в жодній точці х. Прикладом такого скрізь розбіжного ряду може служити ряд
1!х + 2!х2 + ... + n !хn + ...,
оскільки в цьому легко переконатися за допомогою ознаки Д'Аламбера (проробіть це самі). Подібні ряди не становлять інтересу.
Припустимо, щодля ряду (1) серед точок , в яких він збігається, є й відмінні від 0. Розглянемо множину {| |}; вона або обмежена зверху, або необмежена.
В останньому випадку, яку б точку х не взяти, знайдеться така точка х, що |х| < | |, а тоді за теоремою Абеля ряд абсолютно збігається в узятій точці х. Ряд виявляється скрізь збіжним, тобто збіжним на R.
Нехай тепер множина {|х|} обмежена зверху. Ця множина має верхню грань: R = sup{|x|}. Зрозуміло, що 0 < R R, то ця точка х відрізняється від усіх х, і ряд розбігається в точці х. Візьмемо тепер довільну точку х, для якої |х| < R.
Існує така точка х, що |х| R (якщо R < + ). При цьому число R та інтервал (-R; R) називаються відповідно радіусом й інтервалом збіжності степеневого ряду.
Тим самим вирішено питання про область збіжності X ряду: вона є суцільним проміжком від -R до R; лише про кінці його (якщо R < + ) не можна зробити загального висновку: як побачимо нижче, в цих точках ряд може як збігатись (абсолютно чи умовно), так і розбігатись. Проміжок X називається проміжком збіжності ряду.
Для скрізь розбіжного ряду вважають R = 0; його проміжок збіжності зводиться до точки х = 0.
Приклади
1. Знайти проміжок збіжності ряду
Спочатку знайдемо інтервал збіжності цього ряду. Оскільки степеневий ряд в інтервалі збіжності збігається абсолютно, для знаходження цього інтервалу скористаємося достатньою ознакою Коші абсолютної збіжності числового ряду.
Маємо
Отже, ряд збігається, якщо 1. Радіус збіжності досліджуваного ряду R = 10, а його інтервалом збіжності є інтервал (-10; 10).
З'ясуємо тепер поведінку ряду на кінцях проміжку (-10; 10). Підставивши в заданий ряд замість х число 10, дістанемо гармонічний ряд
а він розбіжний. Отже, в точці х = 10 даний ряд розбігається.
При х = -10 матимемо числовий знакопереміжний ряд
який умовно збіжний (за теоремою Лейбніца).
Таким чином, проміжком збіжності заданого ряду є [-10; 10).
2. Знайти проміжок збіжності ряду
Скористаємось ознакою Д'Аламбера. Маємо
для будь-якого х R. Оскільки 0 < 1, досліджуваний ряд збігається в будь-якій точці x R.
Отже, проміжком збіжності заданого ряду є інтервал (- ; + ).
3. Знайти проміжок збіжності ряду
.
Цей приклад читач розв'яже самостійно; ми обмежимося відповіддю: тут радіус збіжності R = 1; проміжком збіжності є відрізок [-1; +1], ряд збігається абсолютно також при х = ±1.
Усе викладене стосується також степеневого ряду вигляду лише роль точки 0 відіграє точка х0: проміжок збіжності має кінці х0 - R та х0+ R (зі включенням кінців чи ні залежно від випадку).
Література:
Барковський В.В. Барковська Н.В. "Математика для економістів". Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1997 р. - 397 ст.
Loading...

 
 

Цікаве