WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розклад числа на прості множники - Реферат

Розклад числа на прості множники - Реферат


Реферат на тему:
Розклад числа на прості множники
Означення. Розкладом натурального числа n на прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді n = , де pi - взаємно прості числа, ki 1 .
Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту.
Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n = a * b, де a, b - натуральні числа, більші за 1 (не обов'язково прості).
Метод Ферма
Нехай n - складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x та y, що n = x2 - y2. Після чого дільниками числа n будуть a = x - y та b = x + y: n = a * b = (x - y)(x + y).
Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x2 - y2) можна обрати
,
Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13.
Тоді x = (13 + 11) / 2 = 12, y = (13 - 11) / 2 = 1.
Перевірка: x2 - y2 = 122 - 11 = 143 = n.
Теорема. Якщо n = x2 - y2, то < x < (n + 1) / 2.
Доведення. З рівності n = x2 - y2 випливає, що n < x2, тобто < x.
Оскільки a = n / b, то . Максимальне значення x досягається при мінімальному b, тобто при b = 1. Звідси x = < .
Отже для пошуку представлення n = x2 - y2 слід перебрати всі можливі значення x із проміжку [ , (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x2 - n повним квадратом.
Приклад. Розкласти на множники n = 391 методом Ферма. = 19.
202 - 391 = 9 = 32. Маємо рівність: 391 = 202 - 32.
Звідси 391 = (20 - 3)(20 + 3) = 17 * 23.
Алгоритм Полард - ро факторизації числа
У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики.
Ідея алгоритма Полард - ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність xi наступним чином: x0 оберемо довільним із Zn, а xi+1 = f(xi) mod n, i 0. Оскільки xi можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n), то існують такі цілі n1 та n2 (n1 0 значення d = НСД(x2i - xi, n). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний дільник числа n.
Побудуємо послідовність елементів xi наступним чином:
x0 = 2, xi+1 = f(xi) = ( + 1) mod n, i > 0
Алгоритм
Вхід: натуральне число n, параметр t 1.
Вихід: нетривіальний дільник d числа n.
1. a = 2, b = 2;
2. for i 1 to t do
2.1. Обчислити a a2 + 1) mod n; b b2 + 1) mod n; b b2 + 1) mod n;
2.2. Обчислити d НСД(a - b, n);
2.3. if 1 < d < n return (d); // знайдено нетривіальний дільник
3. return (False); // дільника не знайдено
Вважаємо, що функція f(x) = (x2 + 1) mod n генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n необхідно виконати не більш ніж O( ) операцій модулярного множення.
Якщо алгоритм Поларда - ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x) = (x2 + 1) mod n можна використовувати f(x) = (x2 + c) mod n, для деякого цілого c, c 0, -2.
Приклад. Нехай n = 19939.
Послідовність xi: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... .
a b d
2 2 1
5 26 1
26 19672 1
677 12391 1
19672 15217 1
11473 15217 1
12391 15217 157
Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.
Нехай n = 143. Послідовність xi: 2, 5, 26, 105, 15, ... .
a b d
2 2 1
5 26 НСД(21, 143) = 1
26 15 НСД(11, 143) = 11
Знайдено розклад 143 = 11 * 13.
Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа
Твердження. Нехай x та y - цілі числа, x2 y2 (mod n) та x y (mod n). Тоді x2 - y2 ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та x - y не ділиться на n. Число d = НСД(x2 - y2, n) є нетривіальним дільником n.
Теорема. Якщо n - непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x2 y2 (mod n), при чому x y (mod n).
Доведення. Нехай n = n1 * n2 - добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n) = 1. Далі розв'яжемо систему рівнянь:
Розв'язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n1, n2), що x2 y2 (mod n). Якщо при цьому припустити, що x - y (mod n), то з другого рівняння системи маємо: y - y (mod n2), або 2 * y = 0 (mod n2). Оскільки було обрано НСД(y, n2) = 1, то з останньої рівності випливає що n2 ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n.
Приклад. Виберемо n1 = 11, n2 = 13 - взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5, НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:
або
Розв'язком системи буде x 60 (mod 143).
Має місце рівність 602 52 (mod 143) , при чому 60 5 (mod 143).
Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 - 5, 143) = 11.
Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:
Нехай F = {p0, p1, p2, …, pt} - множникова основа, pi - різні прості числа, при чому дозволяється обрати p0 = -1. Побудуємо множину порівнянь
zi ,
таку що значення zi є повіністю факторизованими у множині F :
,
та добуток деякої підмножини значень zi є повним квадратом:
z = = y2, y Z, fi {0, 1}
Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x = і перевіривши виконання нерівності x y (mod n), отри маємо x2 y2 (mod n). Число d = НСД(x2 - y2, n) є нетривіальним дільником n.
Приклад. Знайти дільник числа n = 143.
Обираємо випадково число x [2, 142], обчислюємо x2 (mod 143) та розкладаємо результат на множники:
1. z1 = 192 (mod 143) = 75 = 3 * 52.
2. z2 = 772 (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.
3. z3 = 292 (mod 143) = 126 = 2 * 32 * 7.
4. z4 = 542 (mod 143) = 56 = 23 * 7.
Можна помітити, що добуток z3 та z4 є повним квадратом:
z = z3 * z4 = 24 * 32 * 72 = (22 * 3 * 7)2 = 842
Маємо рівність:
z3 * z4 = 292 * 542 842 (mod 143)
або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) 136, маємо:
1362 = 842 (mod 143), при чому 136 84 (mod 143)
Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 - 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.
Квадратичний алгоритм факторизації
Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N може бути розкладено на множники за час .
Нехай n - число, яке факторизується, m = . Розглянемо многочлен
q(x) = (x + m)2 - n
Квадратичний алгоритм обирає ai = x + m (x = 0, 1, 2, …), обчислює значення bi = (x + m)2 - n та перевіряє, чи факторизується bi у множниковій основі F = {p0, p1, p2, …, pt}.
Помітимо, що = (x +m)2 - n (x + m)2 (mod n) bi (mod n).
Алгоритм
Вхід: натуральне число n, яке не є степенм простого числа.
Вихід: нетривіальний дільник d числа n.
1. Обрати множникову основу F = {p0, p1, p2, …, pt}, де p0 = -1, pi - i - те просте число p, для якого n є квадратичним лишком за модулем p.
2. Обчислити m = [ ].
3. Знаходження t + 1 пари (ai, bi).
Значення x перебираються у послідовності 0, 1, 2, … .
Покласти i 1. Поки i t + 1 робити:
3.1. Обчислити b = q(x) = (x + m)2 - n та перевірити, чи розкладається b у множниковій основі F. Якщо ні, обрати наступне x та повторити цей крок.
3.2. Нехай b = . Покласти ai = x + m, bi = b, vi = (vi1, vi2, …, vit), де vij = eij mod 2, 1 j t.
3.3. i i + 1.
4. Знайти підмножину T {1, 2, …, t + 1} таку що = 0.
5. Обчислити x = mod n.
6. Для кожного j, 1 j t, обчислити lj = ( ) / 2.
7. Обчислити y = mod n.
8. Якщо x y (mod n), знайти іншу підмножину T {1, 2, …, t + 1} таку що = 0 та перейти до кроку 5.
9. Обчислити дільник d = НСД(x - y, n).
Приклад. Розкласти на множники n = 24961.
1. Побудуємо множникову основу: F = {-1, 2, 3, 5, 13, 23}
2. m = [ ] = 157.
3. Побудуємо наступну таблицю:
i x q(x) факторизація q(x) ai vi
1 0 -312 -23 * 3 * 13 157 (1, 1, 1, 0, 1, 0)
2 1 3 3 158 (0, 0, 1, 0, 0, 0)
3 -1 -625 -54 156 (1, 0, 0, 0, 0, 0)
4 2 320 26 * 5 159 (0, 0, 0, 1, 0, 0)
5 -2 -936 -23 * 32 * 13 155 (1, 1, 0, 0, 1, 0)
6 4 960 26 * 3 * 5 161 (0, 0, 1 ,1, 0, 0)
7 -6 -2160 -24 * 33 * 5 151 (1, 0, 1, 1, 0, 0)
4. Виберемо T = {1, 2, 5}, оскільки v1 + v2 + v5 = 0.
5. Обчислимо x = (a1a2a5) (mod n) = 936 = 26 * 34 * 132.
6. l1 = 1, l2 = 3, l3 = 2, l4 = 0, l5 = 1, l6 = 0.
7. y = -23 * 32 * 13 (mod n) = 24025.
8. Оскільки 936 -24025 (mod n), необхідно шукати іншу множину T.
9. Виберемо T = {3, 6, 7}, оскільки v3 + v6 + v7 = 0.
10. Обчислимо x = (a3a6a7) mod n = 23405 = 210 * 34 * 56.
11. l1 = 1, l2 = 5, l3 = 2, l4 = 3, l5 = 0, l6 = 0.
12. y = -25 * 32 * 53 (mod n) = 13922.
13. 23405 13922 (mod n).
d = НСД(x - y, n) = НСД(9483, 24961) = 109 - дільник.
Відповідь: 109 - дільник 24961.
Loading...

 
 

Цікаве