WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Границя sin x / x при x-0(пошукова робота) - Реферат

Границя sin x / x при x-0(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Границя при . Границі при і при . Число е. Натуральні логарифми.
План
" Границя при
" Число
" Границі при і при
" Натуральні логарифми.
1. Число
Розглянемо послідовність із загальним членом
(5.11)
Доведемо, що така послідовність збіжна. Для цього обґрунтуємо, що послідовність - зростаюча і обмежена зверху.
а) Покажемо, що
За формулою Ньютона для бінома
або
(5.12)
Знайдемо
(5.13)
У правій частині рівності (5.13) маємо доданків, тоді як в рівності (5.12) - Крім цього, кожний доданок, починаючи з третього, більший за відповідний доданок правої частини рівності (5.12), а перші два доданки рівні між собою.
Тому
б) Покажемо, що послідовність є обмежена зверху. Справді, якщо в правій частині рівності (5.12) вираз в круглих дужках
на одиницю, то матимемо
(5.14)
У правій частині нерівності (5.14) в кожному доданку, починаючи з другого, замінимо в знаменнику співмножники, більші за 2, числом 2.
Матимемо
(5.15)
Члени правої частини (5.15), починаючи з другого, утворюють спадну геометричну прогресію із знаменником Сума правої частини (5.15) дорівнює:
Отже,
Тому існує границя послідовності Її позначають буквою :
(5.16)
Число відіграє надзвичайно велику роль як для самого аналізу, так і для його застосування. Наближене значення його з точністю до 0,0001:
Деякі властивості числа роблять особливо зручним вибір саме цього числа основою логарифмів. Ці логарифми називають натуральними і позначають символом (не вказуючи основи).
У теоретичних дослідженнях використовують виключно натуральні логарифми.
Десяткові логарифми знаходять через натуральні за формулою
де модуль переходу,
2. Границі при та при
Границя відношення при .
Покажемо, що
1. Нехай . Оскільки розглядається в малому околі нуля, то можна припустити, що .
Тепер треба показати, що для будь-якого як завгодно малого числа існує таке число , що з нерівності випливає нерівність . Доведемо спочатку допоміжні нерівності, а саме: покажемо, що при справджуються нерівності .
Візьмемо коло з центром у довільній точці і радіусом, що дорівнює одиниці (рис.5.1), а також , радіанна міра якого .
Оскільки радіус кола дорівнює одиниці, то довжина відрізка дорівнює , а довжина відрізка .
Порівняємо площі трикутника , сектора і трикутника . Оскільки площа частини менша від площі цілого, то ці площі поєднані подвійною нерівністю . Але
Рис.5.1
Підставивши значення в останні нерівності і відкинувши спільний множник , одержимо
.
Оскільки і , то при діленні на знак нерівності зберігається і приходимо до нерівності
.
Звідси
,
але .
В силу цього за теоремою про границю змінної величини, що знаходиться між двома іншими ( і ), які мають спільну границю, знаходимо
. (5.25)
Нехай . Введемо нову змінну за формулою . Тоді
.
Слід зауважити, що при розв'язанні цієї задачі ми не робили ніякого припущення про те, що є строго аргументом. Тому
,
де .
Приклади.
1.
2.
Границя
Нехай . Покладемо . Тоді .
Якщо , то і . Із останньої нерівності знаходимо
,
звідки
.
Легко бачити справедливість таких нерівностей:
.
(Нерівності зберігають свій знак, оскільки ізтрьох чисел, більших одиниці, найменше підноситься до найменшого додатного степеня, а найбільше - до найбільшого, також додатного степеня).
Згідно з теоремами про границю добутку і частки маємо
Крайні члени нерівності прямують при до однієї і тієї самої границі - числа . Тому
Нехай . Покладемо коли , то . Тому
.
Але
,
тому
Отже,
(5.26)
Зауваження. Покладемо . Коли , то .
Тому або
. (5.27)
Приклади.
1.
2.
.
Правостороння і лівостороння границі функції однієї змінної. Для дальшого викладу теорії необхідно ввести в розгляд поняття правосторонньої та лівосторонньої границь функції. Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку , крім можливо, точки .
Означення. Число називається правосторонньою границею функції в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує додатне число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності ,
виконується нерівність , і це записують так:
.
Означення. Число називається лівосторонньою границею функції в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує додатне число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності ,
виконується нерівність ,
і це записують так:
.
Отже , для лівосторонньої границі аргумент береться поблизу
точки (але ), тоді як для правосторонньої границі
береться поблизу точки (але ). Зокрема, якщо функція
визначена на інтервалі чи на відрізку , то в точці можна розглядати тільки правосторонню границю, а в точці - лівосторонню.
Зауваження. 1) функція в точці може мати дві границі (правосторонню і лівосторонню), причому ці границі різні; 2) функція в точці має дві границі і вони рівні між собою; 3) хоч одна з границь функції в точці не існує.
Легко бачити, що коли функція в точці має границю, то вона має в цій точці правосторонню і лівосторонню границі, і вони рівні між собою.
Справедливе й обернене твердження. Якщо функція в точці має лівосторонню і правосторонню границі і вони рівні між собою, то ця функція в точці має границю, яка дорівнює значенню лівосторонньої і правосторонньої границь.
Техніка знаходження границь функцій.
Приклади. Знайти границі:
А. 1. .
Тут границі чисельника і знаменника дорівнюють нулю. Тому застосувати теореми про границі частки не можна. Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на множник , який перетворює на нуль чисельник і знаменник. Одержуємо
2.
.
3.
.
4. .
5.
6.
.
7.
Б.
Домножимо і поділимо на функцію, спряжену даній. Одержимо
оскільки знаменник при є функція нескінченно велика.
Loading...

 
 

Цікаве