WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні тригонометричні формули. Співвідношення між тригонометричними функціями одного и того самого аргументу - Реферат

Основні тригонометричні формули. Співвідношення між тригонометричними функціями одного и того самого аргументу - Реферат


Реферат на тему:
Основні тригонометричні формули. Співвідношення між тригонометричними функціями одного и того самого аргументу
Розглянемо, як пов'язані між собою синус і косинус одного й того самого кута.
Нехай при повороті радіуса ОА навколо точки О на кут ? дістали радіус ОВ (мал. 1). Тоді за означенням
sin ? = , cos ? = ,
де х - абсциса точки В, а у - її ордината, а R - довжина радіуса ОА. Звідси
x = R cos ?, y = R sin ?.
Оскільки точка В належить колу з
центром у початку координат, радіус якого дорівнює R, то її координати задовольняють рівняння
x2+y2 = R2
Підставивши в це рівняння замість х і у вирази R cos ? і R sin ?, дістанемо:
(R cos ?)2 + (R sin ?)2=R2.
Поділивши обидві частини останньої рівності на R2, знайдемо, що
sin2? + cos2? = l. (1)
Рівність (1) справджується при будь-яких значеннях ?.
З'ясуємо тепер, як пов'язані між собою тангенс, синус і косинус одного і того самого кута.
За означенням tg ? . Оскільки y = R sin ?, х= R cos ?, то
tg ? = = = .
Отже,
tg ? = (2)
Аналогічно
ctg ? = = = ,
тобто
ctg ? = , (3)
Рівність (2) справджується при всіх значеннях ?, при яких cos ? 0, а рівність (3) справджується при всіх значеннях ?, при яких sin ? 0.
За допомогою формул (1) - (3) можна вивести інші формули, які виражають співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.
З різностей (2) і (3) дістанемо:
tg ? ·ctg ? = · = 1,
тобто
tg ?-ctg ? = l. (4)
Рівність (4) показує, як пов'язані між собою тангенс і котангенс кута ?. Вонасправджується при всіх значеннях ?, при яких tg ? і ctg ? мають зміст.
Зазначимо, що формулу (4) можна вивести і безпосередньо з означення тангенса і котангенса.
Виведемо тепер формули, які виражають співвідношення між тангенсом і косинусом, а також між котангенсом і синусом одного й того самого кута.
Поділивши обидві частини рівності (1) на cos2? дістанемо:
+1 = ,
тобто
1+tg2? = . (5)
Якщо обидві частини рівності (1) поділити на sin2a, то матимемо:
1+ = .
тобто
l+ctg2? = (6)
Рівність (5) справджується, коли cos ? 0, а рівність (6) - коли sin ? 0.
Рівності (1) - (6) є тотожностями, їх називають основними тригонометричними тотожностями. Розглянемо приклади використання цих тотожностей для знаходження значень тригонометричних функцій за відомим значенням однієї з них.
Приклад 1, Знайдемо cos ?, tg ? і ctg ?, коли відомо, що sin ? = < ? < ?.
Знайдемо спочатку cos ?. З формули sin2? + cos2? = 1 дістанемо, що cos2? = 1- sin2?.
Оскільки ? є кутом II чверті, то його косинус від'ємний. Отже,
cos ? = .
Знаючи синус і косинус кута ?, можна знайти його тангенс:
tg ? = = .
Для знаходження котангенса кута ? зручно скористатися формулою tg ?·ctg ? = 1. Маємо:
ctg ? = .
Отже,
cos ? = , tg ? = , ctg ? = .
Приклад 2. Відомо, що tg ? = 2 і 0Знайдемо sin ?, cos ? i ctg ?.
Скориставшись формулою l + tg2? = , знайдемо cos ?.
Маємо:
cos2 ? = .
За умовою кут ? є кутом І чверті і тому його косинус додатний. Отже,
cos ? = .
Знаючи cos ? і tg ?, можна знайти sin ?. 3 формули tg ? = дістанемо:
sin ? = tg ? · cos ? = 2 .
За відомим tg ? легко знайти ctg ?:
ctg ? = .
sin ? = , cos ? = , ctg ? = .
Loading...

 
 

Цікаве