WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Інтерполяційний многочлен Лагранжа. - Реферат

Інтерполяційний многочлен Лагранжа. - Реферат


Реферат на тему:
Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
?
Нехай відоме значення деякої функції f в n+1 різних точках х0, х1, ... хn, які позначені наступним чином:
Наприклад, ці значення отримані з експерименту, або знайдені із допомогою достатньо важких обчислень.
Виникає задача наближеної відновленої функції f в деякій точці х. Найчастіше для вирішення цієї задачі будується алгебраїчний многочлен Ln(x) степеня n, який в точках xj ,отримує задані значення, і так далі
(1)
називається інтерполяційним. Точки хі, і=0,1,...,n ми будемо розуміти многочлен степеня не більше n і називаються точками інтерполяції. Наприклад, якщо , то інтерполяційний многочлен фактично має нульову степінь, але його теж будем називати інтерполяційним многчленом n-го степеня.
Приблизне відновлення функції f по формулі
(2)
Називається інтерпеляцією функції f (з допомогою алгебраїчного многочлена). Якщо х знаходиться за межами мінімального відрізка вміщаючого всі точки інтерпеляції x0, x1,…,xn то зміну функції по формулі (2) називають екстраполяцією.
Спочатку виляснемо питання існування і однорідності інтерполяційного многочлена, а потім дослідимо хибність інтерпеляції, яка різниця між лівою та правою частинами наближеного рівняння (2).
Теорема 1:
Існує єдиний інтерполяційний многочлен n-го степеня, відповідаючий умові (1).
Доведення: Існування інтерполяційного многочлена безпосередньо установим, виписавши його. Нехай n=1, тоді
(3)
При n=2
в, кінці в любому випадку при любому натуральному n
(4)
де
(6)
Насправді рівняння (3) являє собою лінійну функцію, многочлен першого степеня, причому . Таким чином прохання (1) при n=1 виконано. Аналогічно, формула (4) задає деякий многочлен L2(x)другого степеня, задовольняючий при n=2 умовам (1). При любому натуральному n функції (6), випливають у вигляді дробів, в чисельнику стоїть вигляд n лінійних множин, а в знаменнику - де відмінне від нуль число, які є алгебраїчними многочленами степеня n після чого функція (5) також являється алгебраїчним многочленом степеня n, при чім, оскільки, а при , викопано умови (1).
Залишається доказати єдиність інтерполяційного многочлена. Припустимо, що крім інтерполяційного многочлена (5) є ще деякий алгебраїчний многочлен n-го степеня, задовольняючий умовам:
(7)
тоді згідно (1), (7)
(8)
Якщо , то ця рівність будучи алгебраїчним многочленом не більше n-го степеня, в силу основної теореми вищої алгебри є не більше n коренів, що забезпечує рівнянню(8), та число яких рівня n+1. Після чого, теорема повністю доказана.
Інтерполяційний многочлен, приставлений у виді (5), називається інтерполяційним многочленом Лагранжа, а функції (многочлени) (6) - лагранжовими коефіцієнтами є і другі форми запису інтерполяційного многочлена. Однак по теоремі (1) інтерполяційний многочлен n-го степеня (точніше кажучи, степені не більше n), задовольняючий умовам (1), єдиний.
Фактичну степінь інтерполяційного многочлена (5) можна вияснити після розкривання дужок і зведення подібних членів. Однак, якщо в точках xi в якості fi беруться значення деякого многочлена степеня , то по теоремі (1) зведемо , так як є також многочленом степеня не більше n, задовольняючий умовам (1). Частково, якщо ,то . Звідси і з (5) випливає наступне , яке може служити контролем при обчисленні Лагранжеві коефіцієнтів (6).
Оскільки інтерполяційний многочлен (5) лінійно залежить від значення функції , то інтерполяційний многочлен для суми двох функцій рівний сумі інтерполяційних многочленів для складених.
Приклад: Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа по наступним даним
і 0 1 2 3
хi 0 2 3 5
fi 1 3 2 5
Розв'язання: Згідно (5) при n=3 маємо
Усе можна написати рівняння:
(9)
де - кінцевий член. Якщо відмінність функції f нічого не відомо, крім її значення fi у точках інтерпеляції то ніяких корисних думок відносно кінцевого члена зробити не можна. Ми отримаємо деякі вираження кінцевого члена в припущенні, що , де [a,b] - відрізок, вміщаючи всі точки інтерпеляції точку х.
Шукаємо в наступному виді:
(10)
де (11)
rn (x)- деяка функція, значення якої в точках інтерпеляції xi можна завдати як завгодно, або і .
Зафіксуємо , і розберемо наступну функцію від t:
(12)
Ця функція на основі (1), (9) - (11) перетворюється в нуль при в якому випадку n+2-х точка х відрізка (а,в) на якому міняється t.
По теоремі Ролля (штрих на t) перетворюється на нуль, в крайньому випадку у n+1-й точці інтервала (а,в), рівна нулю мінімум n точках цього інтервалу і т.д. Таким чином знайдеться хоч одна точка в якому Звідки із (12), враховуючи, що отримаєм:
Наступне,
і в співвідношенні з (9), (10),
(13)
, (14)
- деяка невідома точка.
Із рівняння (14) витікає оцінка інтерполяції (в точності, екстраполяції ) в послідовній точці
15
а оцінка максимальної інтерполяції на всьому відрізку [a,b]
(16)
де Mn+1 - величина
Loading...

 
 

Цікаве