WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування - Реферат

Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування - Реферат


Реферат на тему:
Визначений інтеграл: властивості, методи інтегрування, застосування
?
Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f(x). Розіб'ємо відрізок [а, b] на n частин а<х1<х2 <... < хп-1, < b. Довжину відрізків; позначимо ?хi = хi - хi-1. Обчислимо - довільна точка ) та утворимо інтегральну суму: . Границю інтегральної суми, якщо вона існує, називають визначеним інтегралом:
де а, b - нижня та верхня межі інтегрування; [а, b] - відрізок інтегрування;
х - змінна інтегрування.
Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу Ньютона-Лейбніца:
де F(x) - це первісна неперервної функції f(x).
Якщо функція , то інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою у =f(х), віссю ОХ (у = 0) та прямими х=а та х=b.
Зауваження 1. Визначений інтеграл залежить від функції f(х) та меж інтегрування, але не залежить від позначення змінної інтегрування:
Зауваження 2.
Властивості визначеного інтеграла:
1.
2.
3. Якщо
4. для будь-якого с.
5. Теорема про середнє.
Якщо f(х) - неперервна функція на відрізку [а,b], то існує така точка , що
де f(x) - середнє значення функції на відрізку [а, b].
Методи інтегрування
1. Заміна змінної:
2.Інтегрування частинами:
Приклад 1. Обчислити інтеграл:
Розв'язання:
Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:
Приклад 2. Обчислити інтеграл:
Розв'язання:
Приймаємо тоді
Записуємо ці вирази у формулу інтегрування частинами:
Деякі геометричні застосування визначеного інтеграла
Література: 1, гл. 8, § 10.
Запитання для самоконтролю
1. Що називається інтегральною сумою?
2. Що називається визначеним інтегралом?
3. Сформулювати властивості визначеного інтеграла і дати їх геометричну інтерпретацію.
4. Довести формулу Ньютона-Лейбніца.
5. Як застосовувати інтегрування методом заміни змінної у визначеному інтегралі?
6. Як обчислити площу криволінійної трапеції?
7. Як обчислити площу, якщо функція у=f(x) не є знакосталою на проміжку [а, b]?
8. Як обчислити площу криволінійного сектора у полярних координатах?
9. Як обчислити довжину кривої у прямокутних та полярних координатах?
10. Як обчислити об'єм тіла по площах паралельних перерізів?
Завдання для самостійної роботи
Обчислити:
1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.
Обчислити площу, обмежену лініями:
11.
12.
Loading...

 
 

Цікаве