WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Застосування патричного числення та похідної в економіці - Реферат

Застосування патричного числення та похідної в економіці - Реферат


Реферат на тему:
Застосування патричного числення та похідної в економіці
Застосування патричного числення в економіці
Для розв'язку багатьох економічних задач використовуються елементи алгебри матриць. Особливо при розробці і використанні баз даних. При роботі з ними, майже вся інформація зберігається і обробляється в матричній формі.
Приклад. Підприємство виготовляє чотири види виробів з використанням чотирьох видів сировини. Норма споживання сировини задана матрицею.
Вид сировини
1 2 3 4
вид виробу.
Потрібно знайти затрати сировини кожного виду при заданому плані випуску виробів відповідно 60, 50, 35, 40 од.
Розв'язання. Вектор-план випуску продукції відомий (60, 50, 35, 40). Враховуючи норми споживання кожного виду сировини на одиницю кожного виробу, вектор затрат є добуток матриць (матриця - рядок ) та матриці А.
Використання систем лінійних рівнянь
Задача. Підприємство випускає три види продукції, використовуючи при цьому три види сировини. Характеристики виробництва задані таблицею:
Вид
сировини Витрати сировини за видами, на од. прод. Запаси сировини
1 2 3
1
2
3 6
4
5 4
3
2 5
1
3 2400
1450
1550
Визначити план випуску продукції кожного виду, використавши всі запаси. Задачі такого типу виникають при прогнозах і оцінках функціонування підприємств, планування мікроекономіки підприємств.
Розв'язання. Нехай x1 х2, х3 - невідомі, поки що, об'єми випуску продукції. При умові повного використання запасів, можна забезпечити балансові співвідношення, які задовольняють систему рівнянь
Розв'язуючи систему довільним способом, отримаємо значення невідомих: х1 =150, х2=250, х3 =100.
Загальна постановка задачі прогнозу випуску продукції. Нехай - матриця затрат сировини т видів на випуск одиниці продукції п видів. Нехай x(x1, x2, x3) - вектор - план випуску продукції. Тоді цей вектор знаходиться із системи рівнянь
Схт=bт,
де b - вектор запасів сировини кожного виду;
т - індекс транспонування.
Лінійна модель торгівлі
Процес взаємних закупок товарів аналізується з використанням понять власного числа і власного значення вектора матриці. Будемо вважати, що бюджети п країн, які позначимо відповідно х1 ,х2,.. ,хп, витрачаються на закупку товарів. Розглянемо лінійну модель обміну, або модель міжнародної торгівлі.
Нехай аij - частина бюджету хj, яку j-та країна витратить на закупку товарів в і- й країні.
Введемо матрицю коефіцієнтів аij:
(1)
Тоді, якщо бюджет витрачається тільки на закупки всередині країни і поза нею (це трактують як торговий бюджет), справедлива рівність
(2)
Матриця (1) з властивістю (2) називається структурною матрицею торгівлі. Для і -ї країни загальна виручка від внутрішньої і зовнішньої торгівлі виражається формулою
Рі= аі1 х1+аі2 х2+...+ аіп хп . (3)
Умова збалансованої (бездефіцитної) торгівлі формулюється так: для кожної країни її бюджет має бути не більший від виручки від торгівлі, тобто
, або для (4)
Покажемо, що в умові (4) не може бути рівності. Дійсно, додамо всі ці нерівності для всіх . Групуючи доданки з величинами бюджетів хj, отримаємо
Легко бачити, що вирази в дужках рівні одиниці, тому
Це можливо лише тоді, коли є знак рівності. Таким чином нерівності (4) приймають вигляд
для (5)
Введемо вектор бюджетів х (матриця - стовпчик), колена компонента якого характеризує бюджет відповідної країни. Система (5) набере вигляду
Ах=х. (6)
Вектор, який є розв'язком матричного рівняння Ах=?х називають власним вектором, а число ? - власним значенням.
Рівняння (6) означає, що власний вектор структурної матриці А, що відповідає її власному значенню ?=1, складається із бюджетів країн бездефіцитної міжнародної торгівлі.
Рівняння (6) запишемо у вигляді, який дозволяє знайти х
(А-Е) x=0. (7)
Приклад. Структурна матриця торгівлі чотирьох країн, має вигляд
Знайти бюджети цих країн, які задовольняють збалансовану бездефіцитну торгівлю при умові, що сума бюджетів задана х1+х2+х3+х4=6270.
Розв'язання. Необхідно знайти власний вектор х, який відповідає власному значенню ?=і матриці А, тобто розв'язати рівняння (7), що в нашому випадку має вигляд
Ранг системи рівний 3, тому одна невідома вільна. Розв'язок системи методом Гаусса дає такі значення невідомих:
Підставивши ці значення в суму бюджетів, визначимо величину С; C=1210.
Отже, шукані величини бюджетів країн при бездефіцитній торгівлі рівні
x1=1400; x2=1460; x3=2200; x4=1210.
Застосування похідної в економіці
Наведемо приклади двох граничних показників в мікроекономіці - поняття собівартості та еластичності.
Під еластичністю функції y=f(x) розуміємо границю відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля
(1)
1. Розглянемо залежність собівартості С виробленої продукції від її об'єму Q, тобто С = f(Q). Так звана гранична собівартість характеризує приріст собівартості С до приросту продукції Q:
Вважаючи залежність С від Q неперервною , отримаємо в границі
Cr=C'(Q) (2)
Наприклад, нехай залежність витрат виробництва від об'єму випущеної продукції виражається формулою С=40Q-0.03Q3. Визначити середні і граничні витрати при об'ємі продукції Q=15
Loading...

 
 

Цікаве