WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. - Реферат

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. - Реферат


Реферат на тему:
Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
?
Рівняння .
Мета: Засвоєння учнями виведення і застосування формули для знаходження коренів рівняння .
Усім відомо, що квадратні рівняння можна розв'язувати за допомогою формули їх коренів, що значно спрощує роботу.
У математиці розглядають рівняння, у яких невідоме (змінна) входить тільки під знак тригонометричних функцій, наприклад: . Ці рівняння називаються тригонометричними рівняннями. Як правило, розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння зводиться до розв'язування найпростіших рівнянь:
Отже, наше завдання - вивести формули для розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь і навчитися розв'язувати тригонометричні рівняння, які приводяться до найпростіших.
Таблиця 1
1. Якщо , то рівняння не має розв'язків, поскільки для будь-якого t.
2. Якщо , то враховуючи те, що - абсциса точки Pt одиночного кола, маємо: абсцису, рівну а, мають дві точки (рис.1) одиничного кола (на осі ОХ відкладаємо числа а і через побудований точку проведемо пряму, перпендикулярну до осі абсцис, яка перетне коло у двох точках і ). Тоді
Ці розв'язки можна об'єднати
(1)
3. Якщо а=1, то, враховуючи те, що cos t - це абсциса точки Pt одиночного кола, маємо:
Абсцису, рівну 1, має точка Pt утворена із точки Р0 (1;0) поворотом на кути Отже,
рис. 1
Ці розв'язки можна об'єднати
(1)
3. Якщо а=1, то враховуючи те, що - це абсциса точки Pt одиничного кола маємо:
Абсцису, рівну 1, має точка Pt утворена із точки Р0(1;0) поворотом на кути . Отже, , .
4. Якщо а=-1, то маємо . Корені рівнянь: , також можна одержати із формули .
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо:
Оскільки то маємо:
Відповідь:
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння
Розв'язання.
Оскільки , то рівняння коренів не має.
Відповідь: коренів немає.
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо:
Значення arcos 0.37 знайдемо за допомогою мікрокалькулятора: тоді,
Відповідь:
Приклад 4. Розв'яжіть рівняння
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо:
Оскільки то
Відповідь:
Завдання для самоперевірки.
Рівняння:
1.
Відповідь:
2.
Відповідь:
3.
Відповідь:
4.
Відповідь:
Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
Рівняння
Мета: Засвоєння учнями виведення і застосування формули для коренів рівняння
Рівняння:
1. (3 бали)
(3 бали)
(3 бали)
(3 бали)
Рівняння:
(3 бали)
(3 бали)
(3 бали)
(3 бали).
Відповідь:
Таблиця 2
1. Якщо , то рівняння не має розв'язків, поскільки для будь-якого t.
2. Якщо , то враховуючи те, що - абсциса точки Pt одиночного кола, маємо: ординату, рівну а, мають дві точки одиничного кола (на осі ОY відкладаємо числа а і через цю точку проведемо пряму, перпендикулярну до осі ординат (рис.2), яка перетне коло у двох точках і :
мал.2
Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:
(1)
Неважко впевнитися, що при арному k=2n маємо:
при непарному k=2n+1 маємо:
3). Якщо а=1, то, враховуючи те, що sin t - це ординати точки Pt одиночного кола, маємо: ординату, рівну 1, має точка Pt утворена із точки Р0(1;0) поворотом на кут
Отже, . Якщо а= - 1, то
4). Якщо а=0, маємо
Розглянемо приклади:
Рівняння:
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо:
Оскільки то
Відповідь:
Рівняння:
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо:
Оскільки , то
Відповідь:
Рівняння:
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо
Значення знайдемо за допомогою мікрокалькулятора:
тоді
Відповідь:
Завдання для самоперевірки
Рівняння:
1.
Відповідь:
2.
Відповідь:
3.
Відповідь:
Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
Рівняння
Мета: Засвоєння учнями виведення і застосування формули для знаходження коренів рівняння
Рівняння:
1). sin x=0; 2). sin x=1; 3). sin x= -1;
4). sin 2x=0; 5). sin x= 6). sin x= - ;
7). cos x=0; 8). cos x =1; 9). cos x = - 1;
10). 11). 12). cos x=- .
Відповідь: 1). ; 2). 3).-
4). 5). 6).
7). 8). ; 9). ;
10). ; 11). 12).
Таблиця 3
Розв'язування рівняння зручно проілюструвати за допомогою лінії тангенсів (рис.3). - це ордината точки перетину прямої ОРt з лінією тангенсів. Відкладемо на осі тангенсів число а, через точку і початок координат проведемо пряму, яка перетне одиничне коло у двох точках і , тоді
(1)
Отже, рівняння при будь-якому значенні а має розв'язок.
Рівняння , де рівносильне рівнянню .
мал..3
Проте можна довести, що розв'язки рівняння можна записати у вигляді:
(2)
Приклади:
Приклад 1. Рівняння
Розв'язання
По формулі (1) знаходимо
Оскільки , то маємо:
Відповідь:
Приклад 2. Рівняння
Розв'язання
За формулою (1) маємо:
Значення arctg 2 можна знайти за допомогою мікрокалькулятора
Відповідь:
Приклад 3. Рівняння
Розв'язання
Відповідь:
Завдання для самоперевірки
Рівняння:
1.
Відповідь:
2.
Відповідь: а).
3.
Відповідь:
Розв'язування тригонометричних рівнянь способом зведення до однієї тригонометричної функції.
Мета: Формування умінь учнів розв'язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчним способом).
Рівняння:
1. (3 бали)
(3 бали)
(3 бали)
(3 бали).
Відповіді: а). Розв'язків немає;
Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.
Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.
Приклад 1. Рівняння
Розв'язання
Замінивши sin2x на 1-cos2x, маємо
Нехай cos x=t , тоді
Звідси
Оскільки - розв'язків немає.
Оскільки
Відповідь:
Приклад 2. Рівняння
Розв'язання
Нехай , тоді
Маємо: 1).
2).
Відповідь:
Розв'язування однорідних тригонометричних рівнянь.
Мета: Формування умінь учнів розв'язувати однорідні тригонометричні рівняння.
Розв'язування аналогічних вправ.
Відповіді:
Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу.
1). Розглянемо рівняння виду (однорідне рівняння 1-го ступеня), де а i b не дорівнюють нулю.
Значення х., при яких cos x дорівнює нулю,не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і sin x теж дорівнював би нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x.
Маємо:
Виконання вправ
Розв'яжіть рівняння.
1.
Відповідь:
2. Рівняння виду називається однорідним рівнянням 2-го степеня.
Якщо числа a, b, c не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на сos2x (або sin2x). (У даному рівнянні бо в супротивному випадку sin2x теж дорівнював би нулю, а сos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю). Тоді:
Розв'язавши отримане, рівняння одержимо корені даного рівняння.
Виконання вправ
1. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь:
в) г)
3. Рівняння виду називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.
Якщо жоден із коефіцієнтів не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на одержимо рівняння
n-го степеня відносно .
Якщо хоча б один із коефіцієнтів дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на слід довести, що
Розглянемо приклад :
Розв'яжіть рівняння .
Ділити обидві частини на не можна, бо є розв'язком даного рівняння. Це рівняння можна розв'язати:
І спосіб (винесення множника)
Звідси або
2)
Відповідь:
ІІ спосіб. Розділимо обидві частини на , оскільки в даному рівняння, бо в супротивному випадку і , що неможливо.
Звідси або
1)
2)
Відповідь:
Виконання вправ
1. Розв'яжіть рівняння:
а) б)
в) г)
Відповідь: а) , б) в)
г)
2. Розв'яжіть рівняння:
а) б)
в) г)
Відповідь: а) б)
в)
Loading...

 
 

Цікаве