WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

одиничним оператором назив. лін.операторE, який діє за правилом Добутком операторів , назив. оператор , який діє за правилом Нульовий і тотожний оператори є лінійними.
Вектор , який задовольняє співвідношення = назив. власним вектором оператора , а число власним значенням опер. , який відповідає даному власному вектору .Вектор назив. власним , якщо оператором він перетворюється в колінеарний йому вектор.
Теорема: Власні вектори , яким відповідають попарно різні власні значення утворюють лінійно незалежну систему.
Доведення : 1) Нехай - деяка система власних векторів , яким відповідають попарно різні власні значення .2)Нехай k=1за означенням 0 і система { } лінійно незалежна. 3) припустимо, що дов. система з (k-1)- власного вектора є лін.незалежна.4) доведемо, що лін. незалежною буде і система з k-власних векторів . Припустимо супротивне , тобто,що система власних векторів , яким відповідають попарно різні є лін. залежною , тобто,що оператор ( ….) = , Віднімемо від останньої рівності (1)-ку помножену на
Оскільки вектори системи утворюють лін. незалежну систему, то всі коефіцієнти останньої лін. комбінації =0 Розглянемо зокрема перший з них , Отримана суперечність і доводить теорему.Із теореми випливає , що якщо всі власні значення лін. оператора є попарно різними , то система відповідних цим значенням власних векторів утворюють базу простору цю базу назив. власною базою лін.оператора
( - E)=
Визначник матриці - E є многочленом n-го степеня від цей многочлен назив. характеристичним многочленом матриці ( оператора ) і позначають
Теорема: Характеристичний многочлен матриці не залежить від вибору бази.
Слід матриці це сума її діагональних елементів = . Сума власних значень лінійного оператора = сліду матриці цього оператора. Множина всіх власних значень лін. оператора (характеристичних коренів ) назив. спектром оператора. Спектр назив. простим, якщо всі власні значення різні.
13. Морфізми груп. Теорема про гомоморфізм груп. Ізоморфізм груп. Теорема Келі.
Означення. Ізоморфізмом групи на групу наз. взаємнооднозначне відображ. на , яке не порушує операції . Тобто, якщо з того, що довільним елементам відповідають відповідно елем. , то результатові операції між в групі відповідатиме результат між групи . І навпаки.
Означення. Гомоморфним відображенням групи в групу наз. таке відображ., яке зберігає операцію.
Означення. Гомоморфізм групи на свою фактор-групу наз. природнім(канонічним).
Означення. Сукупність К всіх елементів групи , які при гомоморфізмі відображ. в нейтральний елем. групи , наз. ядром гомоморфізму і позначається .
Теорема(про гомоморфізм груп). Нехай є гомоморфізмом групи на групу і - ядро цього гомоморфізму. Тоді група ізоморфна фактор-групі , тобто , причому такий ізоморфізм фактор-групи на групу , що добуток ? ізоморфізму на природній гомоморфізм ? є гомоморфізмом , тобто = ?.
Терміни сюр'єктивне, ін'єктивне та бієктивне відображ. у випадку груп замінюють відповідно: епіморфізм, мономорфізм, ізоморфізм. Ізоморф. групи самої в себе -автоморфізм.
Теорема Келі. Кожна скінченна група п-го порядку ізоморфна деякій підгрупі симетричної групи п-го степеня.
? Нехай - будь-яка група порядку , а - її елем.. Помножимо зліва кожен елемент групи на довільний її елемент . В результаті одержимо п добутків , кожен з яких є деяким елементом групи . Нехай , де - є одним з чисел 1,2,…, п. Всі елем. попарно різні між собою. Дійсно, при , бо, якщо , то , звідки , і, отже, . Оскільки п різними елем. вичерпується група ,то - це ті самі елем. , але, можливо, записані в іншому порядку. Звідси випливає, що, коли індексу поставимо у відповідність індекс , то дістанемо взаємнооднозначне відображ. множини 1,2,…, п самої на себе, тобто дістанемо підстановку .Елем. групи поставимо у відповідність підстановку . Тоді кожному елем. групи відповідатиме цілком визначена підстановка п-го степеня. Причому двом різним елементам і відповідатимуть різні підстановки: якщо елем. відповідає , а елем. - підстановка ,то , оскільки рівність може мати місце тільки тоді, коли . Отже, маємо взаємнооднозначне відображ. групи на підмножину групи . Доведемо, що відображ. ізоморфне. Для цього покажемо, що .Справді, нехай ; . Тоді , то ,тобто .Отже, група ізоморфно відображається на множину симетричної групи . Тому, за теоремою про ядро гомоморфізму, є підгрупою групи . Отже, група ізоморфна підгрупі групи . ?
14. Поняття кільця, поля. Види кілець. Кільце квадратних матриць, кільце класів лишків, кільце многочленів.
Означення. Кільцем наз. непорожня множина , в якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції - додавання і множення, причому за додаванням є абелева група - адитивна група кільця , а операція множення - асоціативна і пов'язана дистрибутивними законами з операцією додавання.
Означення. Комутативне кільце з одиницею, в якому для кожного його ненульового елемента обернений елемент наз. полем.
Означення. Підмножина кільця наз. підкільцем кільця , якщо є кільцем відносно операцій додавання та множення, визначених у кільці .
Число довгий час вважалося містичним, однак виявилося, що існують аналоги цього числа, які є абсолютно реальними об'єктами. Розглянемо множину квадратних матриць виду:
Покажемо, що ця множина матриць утворює кільце. В цій множині існує матриця О -нульовий елемент. Е - одинична матриця.
Асоціативність додавання і множення, комутативність додавання та дистрибутивність множення випливає з виконання даних властивостей квадратних матриць. Отже, Р утворює кільце. Оскільки множення матриць даного типу є комутативним, то кільце Р - комутативне.
Означення. Непорожня підмножина кільця наз. лівим(правим) ідеалом цього кільця, якщо виконуються такі умови:
1) , де ;
2) , де .
Відношення конгруентності елементів на множині деякого кільця за його ідеалом є бінарним відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності наз. ще класами лишків кільця за ідеалом . Множину всіх класів лишків кільця за ідеалом його позначають . У цій множині алгебраїчними є операціїдодавання і множення класів лишків:
, .
Відносно цих операцій множина утворює кільце, яке наз. фактор-кільцем кільця за ідеалом . Фактор-кільце наз. ще кільцем класів лишків.
Нехай - довільна область цілісності з одиницею і - її підкільце з одиницею. Елемент наз. алгебраїчним над кільцем , якщо в існують такі елементи , які не всі дорівнюють нулю, що:
Елемент, який не є алгебраїчним над є трансцендентним над .
Означення. Мінімальне розширення кільця , яке містить трансцендентний над елемент х, наз. кільцем многочленів від однієї змінної над і позначається [x].
Означення. Кільцем многочленів від п змінних над областю цілісності наз. кільце многочленів від змінної над кільцем .
Loading...

 
 

Цікаве