WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

множині суміжних класів операцію множення (як множення деяких підмножин групи ). Нехай , .
Розглянемо добуток
.
Таким чином, добуток двох суміжних класів групи за нормальною підгрупою є суміжним класом за . Для знаходження добутку двох класів за треба в кожному із цих класів вибрати по одному представнику і взятий той суміжний клас, до якого належить добуток вибраних представників.
Теорема. Множина суміжних класів групи за нормальною підгрупою утворює мультиплікативну групу, яку називають фактор-групою групи за нормальною підгрупою і позначають .
Доведення:
а) асоціативність множення суміжних класів випливає із асоціативності множення підмножин групи;
б) суміжний клас відіграє роль одиничного суміжного класу. Дійсно, для будь-якого :
1) ;
2)
в) для кожного суміжного класу існує обернений суміжний клас . Дійсно,
;
.
Отже, .Теорему доведено.
12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.
Властивості фактор-групи.
1. Кожна фактор-група комутативної групи є комутативною.
Доведення. . Розглянемо фактор-групу , елементами якої будуть . .
2. Кожна фактор-група циклічної групи теж циклічна.
Доведення. Нехай -циклічна група, породжена елементом , тобто . Розглянемо фактор-групу : . Оскільки циклічна, то . Звідси . Отже, -циклічна фактор-група, породжена елементом або .
3. Порядок будь-якої фактор-групи скінченої групи є дільником порядку цієї групи.
Кількість суміжних класів, які утворюються при розбитті групи за підгрупою , називається індексом підгрупи в групі . Іншими словами, індекс підгрупи в групі є порядком фактор-групи .
15. Поле. Характеристика поля. Поле раціональних дробів. Побудова скінчених полів з допомогою фактор-кілець.
Тілом називається кільце, кожен ненульовий елемент якого є оборотним (тобто має до себе обернений). Полем називається комутативне кільце, кожен не нульовий елемент якого є оборотним. Іншими словами поле - це комутативне тіло. Поле позначається . Приклади полів: поле раціональних чисел; поле дійсних чисел; множина теж поле.
Поле , яке містить деяке поле (його називають підполем поля ) називається розширенням поля . Розглянемо означення характеристики поля. Не всі властивості числових полів зберігаються у випадку довільного поля, зокрема, якщо додавати одиницю саму до себе в деякому нескінченному полі декілька разів, то ми ніколи не отримаємо 0 , тобто, всі такі числа кратні одиниці є відмінними одне від одного: , тобто . Якщо ж додавати одиницю саму ж себе в деякому скінченому полі, то серед отриманих чисел кратних одиниці, обов'язково будуть рівні, оскільки скінчене поле володіє лише скінченою кількістю різних елементів. Якщо всі кратні одиниці є різними елементами поля , то для того щоб кратне одиниці дорівнювало 0 , необхідно, щоб . Таке поле називається полем характеристики нуль. Якщо поле містить рівні кратні одиниці, тобто то із , тобто ціле кратне одиниці дорівнює нулю. Найменше натуральне число , із яким одиниця перетворюється в нуль, називається характеристикою даного поля.
Властивості: 1) Якщо поле має характеристику , то число -просте.
Доведення: припустимо від супротивного. Нехай , де .
Дано: , що суперечить умові мінімальності . Отже припущення не вірне, - просте.
2) Якщо характеристика поля дорівнює , то
Доведення:
3) Якщо характеристика поля дорівнює нулю, то із , де .
Доведення:
Лема: Якщо многочлен - незвідний многочлен над полем , то фактор-кільце - многочленів за ідеалом є полем.
Д-ння: Елемент фактор-кільця Цей елемент фактор-кільця за ідеалом відмінний від елемента оскільки, в іншому випадку, одиниця мала б ділитися на , що неможливо. Таким чином, в фактор-кільці є принаймні два різні елементи і , причому серед них є одиничний . Покажемо, що для довільного ненульового елемента в даному фактор-кільці існує обернений. Оскільки , то , то не ділиться на . Із того, що - незвідний, слідує що Це означає, що існують многочлени Запишемо останню рівність у вигляді конгруенції за модулем : Звідси випливає, що , Звідси . Отже, - поле. Лема доведена.
Розглянемо розширення поля раціональних чисел приєднання до них деяких ірраціональних чисел. Приєднаємо, наприклад до поля число , додавши його до всіх раціональних чисел і помноживши на будь-яке раціональне число. Отримали числа вигляду Множина чисел такого вигляду утворює поле, яке є розширенням алгебраїчного поля елементом . Позначимо його - алгебраїчне над полем , оскільки є коренем рівняння з раціональними коефіцієнтами.
4. Многочлени, їх звідність. Ділення многочленів. Корені многочленів
. Теорема Вієта.
Многочленом п-го степеня від невідомого х називається вираз вигляду: Число п називається степенем многочленна. Два многочлени є рівними, якщо рівними є їх коефіцієнти при однакових степенях змінної. Число 0 теж є многочленом, степінь якого не визначений. Роль 1 при діленні многочленів відіграє число 1 як многочлен нульового степеня. Многочлен f(x) тоді і тільки тоді має обернений, якщо він є многочленом нульового степеня. Звідси випливає, що оберненої операції до множення многочленів - ділення- не існує. Для многочленів існує алгоритм ділення з остачею, який грунтується на тому, що для будь-яких двох многочленів f(x), g(x) можна знайти такі многочлени q(x), r(x) що f(x)=g(x)q(x)+r(x), при чому степінь r(x) менше степеня g(x) або r(x)=0. Многочлени g(x), r(x)визначаються однозначно. Властивості ділення многочленів:
1.Якщо f(x) ділиться на g(x), а g(x)ділиться на h(x), то f(x) ділиться на h(x).
2.Якщо f(x) i g(x) діляться на h(x), то їх сума і різниця теж ділиться на h(x).
3.Якщо f(x) ділиться на g(x), то добуток f(x) на інший многочлен теж ділиться на g(x).
4.Якщо кожен з многочленів ділиться на g(x), то на g(x) буде ділитися многочлен .
5,Всякий многочлен ділиться на будь-який многочлен нульового степеня.
6,Якщо f(x) ділиться на g(x), то він ділиться і на сg(x).
7.Многочлени cf(x) і тільки вони будуть дільниками f(x) , які мають такий же степінь, що й f(x).
8.Многочлени f(x) i g(x) тоді і тільки тоді діляться один на другий, коли f(x)=cg(x)
Якщо f(c)=0, то с називається коренем многочленна f(x)
8.Лінійні оператори.Характеристичне рівняння, спектр, слід, мінімальний многочлен, власні значення і власні вектори лінійного оператора.
Оператор , який діє з в називається лінійним, якщо для будь-яких векторів , , виконується :
1. ( + )= +
2. ( ) =
Дії над лін. операторами:
Нехай і 2 лінійні оператори , що діють з в .Сума лінійних операторів і назив. Оператор + , який визначається рівністю( + ) = + y .Добутком лін. оператора на число назив. оператор , який діє за законом ( ) = ( ). Нульовим лін. оператором назив. оператор 0 , який переводить всі елементи простору в нульовий елемент простору ( ) [0 ]=0. Тотожним або
Loading...

 
 

Цікаве