WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

канонічні коефіцієнти від'ємні. Із означення канон. коеф. випливає, що знаки кутових мінорів чергуються, причому .
Достатність. Нехай викон. умови накладені на кутові норми в формулюванні теор. Так як і=1,2,3, …, п, то форму А можна привести до суми квадратів, причому конон. коеф. шукаються за вказаними вище формулами. Якщо , ,…, то з озн. канон. коеф. випливає що , тобто форма додатньо визначена. Якщо ж знаки чергуються і то форма відємно визначена. Теорема доведена
11. Зведення квадратичних форм до канонічного виду.
Якщо квадратичну форму звести, за допомогою лінійного перетворення, то отримаємо квадратичну форму від нових змінних з іншими коефіцієнтами.
Теорема. Будь-яку квадратичну форму за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних можна звести до канонічного вигляду.
Звести квадратичну форму до канонічного виду можна методом Лагранжа. Ідея цього методу полягає в послідовному виділенні повних квадратів по кожній змінній в квадратичній формі. Для виділення повного квадрату по змінній необхідно, щоб в квадратичній формі був присутній вираз з квадратом цієї змінної. Якщо в квадратичній формі нема членів з квадратами змінних, то застосовують спеціальне невироджене перетворення змінних так, щоб в квадратичній формі утворилися члени з квадратами змінних. Так, якщо всі , але для деяких номерів і , то застосувавши невироджене лінійне перетворення змінних при , отримаємо, що член квадратичної форми набуде вигляду , це означає, що в квадратичній формі отримаємо члени з квадратами по змінній і . Ці члени, не можуть з іншими членами форми скоротитися, так як кожний інший її член міститься в при . Таким чином, в квадратичній форма є члени із змінними в квадраті. Нехай в квадратичній формі є член з квадратом змінної , тобто . Згрупуємо в всі члени, які містять , і доповнимо їх суму до повного квадрату. Тоді отримаємо, що
де - квадратична форма від змінних .
Введемо нові змінні , ,…, . Для нових змінних квадратична форма набуде вигляд . З квадратичною формою можна поступити аналогічно. Через крок ми прийдемо до канонічної форми . Нехай -матриця послідовно виконаних відображень змінних; -матриця квадратичної форми, -діагональна матриця отриманого канонічного вигляду. Тоді формула набуває вигляд .
Нехай квадратична форма зведена до канонічного вигляду
Виконаємо додаткові лінійні перетворення змінних . В результаті квадратична форма набуде вигляду . Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.
12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.
Поняття групи, підгрупи.
Групоїд - це множина з однією визначеної в ній бінарною операцією.Множина із заданою в ній бінарною асоціативною операцією н6азивається півгрупою.Півгрупа з одиничним елементом називається моноїдом. Моноїд, в якому введена операція множення, називається мультиплікативним; моноїд, в якому введена операція додавання,- адитивним. Моноїд, всі елементи якого оборотні, називається групою.
Групою називається непорожня множина , в якій виконуються такі аксіоми:
1) в множині задана бінарна операція:
2) введена операція є асоціативною:
3) множина володіє єдиним одиничним елементом:
4) для кожного елемента множини в цій же множині існує до нього обернений : .
Якщо задана в групі операція є комутативною, то група називається комутативною ( абелевою ). За аналогією до моноїда, група за множенням називається мультиплікативною.
Підгрупою групи називається підмножина цієї групи, яка сама утворює групу по відношенню до тієї ж операції, яка задана в групі.
Перевірка того, чи задана підмножина групи утворює її підгрупу включає:
1) чи міститься в результат бінарної операції елементів із ;
2) чи містить обернені до будь-яких своїх елементів.
Циклічні групи.
Важливим прикладом підгрупи є циклічні підгрупи.
Нехай -деяка група, -один з її елементів. Позначимо символом підмножину групи , яка складається з усіх степенів елемента . Підмножина утворює підгрупу групи , оскільки:
1) множення не виводить за межі елементів виду : ;
2) існує нейтральний елемент ;
3) для всіх елементів .
Підгрупа , яка складається із всіх степенів елемента групи , називається циклічною підгрупою групи , породженою елементом .
Можливі два випадки:1) усі степені елемента є різними елементами групи . При цьому елемент називається елементом нескінченного порядку;2) серед степенів елемента є рівні між собою, тобто при . Як правило, цей випадок має місце у скінченній групі
Мінімальний додатній показник елемента , при якому , називається порядком елемента , а сам елемент -елементом -го порядку.
Якщо є елементом -го порядку, то породжена ним циклічна підгрупа складається з елементів.
Озн. Група називається циклічною, якщо вона складається з степенів одного із своїх елементів (тобто, якщо вона співпадає з будь-якою своєю підгрупою ). Елемент називається твірним елементом циклічної групи = .
Кожна циклічна група є комутативною, оскільки .
Теорема 1. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній групі цілих чисел.
Доведення. Нехай -циклічна група, породжена елементом . Доведемо, що . Поставимо у відповідність елементу групи ціле число : . Тоді із того, що , випливає, що . Отже, -гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, -ізоморфізм.
12. Поняття групи, підгрупи. Циклічні групи. Фактор-група.
Теорема 2. Кожна скінченна циклічна група порядку ізоморфна мультиплікативній групі коренів -го степеня з одиниці.
Доведення. Нехай - скінченна циклічна група порядку . Поставимо у відповідність кожному елементу цієї групи елемент : , де - перший з коренів із одиниці. Тоді із того, що , , випливає , . Звідки випливає, що -гомоморфізм. Аналогічно доводиться і навпаки. Отже, -ізоморфізм.
Теореми 1,2 показують, що всі циклічні групи по суті вичерпуються адитивною групою цілих чисел і мультиплікативною групою коренів -го степеня з одиниці.
Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи сама циклічна.
Доведення. Нехай -довільна циклічна група з твірним елементом , -деяка її підгрупа (не одинична, бо одинична підгрупа завжди циклічна). Виберемо в підгрупі найменший із додатніх степенів елемента . Нехай ним буде -мінімальне. Покажемо, що він є твірним елементом підгрупи , яка буде циклічною. Нехай довільний елемент . Тоді , де . Вцьому випадку в підгрупі буде міститися елемент , який менший за , що неможливо, крім . Таким чином, . Отже, довільний елемент підгрупи є степенем . Це означає, що підгрупа циклічна з твірним елементом .
Фактор-група.
Нехай - довільна нормальна підгрупа групи . Оскільки кожний лівий суміжний клас групи за нормальною підгрупою збігається з правим суміжним класом , то говоритимемо тільки про суміжні класи групи за нормальною підгрупою .
Суміжний клас , породжений елементом із , позначаємо . Введемо в
Loading...

 
 

Цікаве