WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

Шпаргалки з алгебри (шпаргалка) - Реферат

многоч. Теорему доведено.
Для того , щоб звузити межі між якими знаходяться дійсні корені многочлена, потрібно окремо знайти нижні та верхні межі додатніх і від'ємних коренів. Потрібно знайти 4 числа . Всі додатні корені лежать в інтервалі , а всі від'ємні - .
Виявляється, що досить вміти знаходити тільки одне із записаних 4-ох чисел. Наприклад, всі інші межі можна знайти як верхні межі додатних коренів інших допоміжних рівнянь. Наприклад, в рівнянні заміною отримаємо рівняння .Якщо верхня межа додатних коренів рівняння , то
, ,
Використаємо наступну заміну , отримаємо нове рівняння корені якого зв'язані з коренями початкового рівняння формулою .Якщо всі додатні корені ,то будуть всіма від'ємними коренями .
, , .
9.Евклідів простір. Нерівність Коші-Буняковського.
Лінійний простір називається евклідовим простором, якщо виконуються наступні умови:
1. Будь-яким двом елементам даного простору і ставиться у відповідність дійсне число, яке називається скалярним добутком цих елементів і позначають символом .
2. Для скалярного добутку справедливі такі аксіоми:
2.1 - аксіома симетрії
2.2 - аксіома роз подільності
2.3 , для будь-якого дійсного числа
2.4 при , при .
Теорема1:Для будь-яких двох елементів і довільного евклідового простору справедлива нерівність , яка називається нерівністю Коші-Буняковського.
Доведення: для будь-якого дійсного числа , в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність . В силу аксіом 2.1-2.3, останню рівність можна записати в вигляді . Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність , звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.
Теорема2: Для будь-яких двох елементів і довільного комплексного евклідового простору справедлива нерівністю Коші-Буняковського
Доведення: для будь-якого комплексного числа , в силу аксіоми 2.4 скалярного добутку, справедлива рівність . В силу аксіом 2.1-2.3, останню рівність можна записати в вигляді . Позначимо через аргумент комплексного числа і представимо в вигляді . Тоді , де -будь-яке дійсне число. , . Отримаємо наступну рівність . Яка справедлива для будь-якого дійсного . Для того щоб виконувалась дана рівність необхідно і достатньо щоб дискримінант даного тричлена був недодатнім, тобто щоб виконувалась рівність , звідки випливає потрібна рівність. Теорема доведена.
10. Квадратична форма. Додатньо і від'ємно визначені квадратичні форми. Закон інерції квадратичних форм. Критерій Сильвестра.
Квадратичною формою називається числова функція одного векторного аргумента , яка випливає із білінійної форми , при .
Симетрична білінійна форма називається полярною до квадратичної форми .
Полярна білінійна форма і квадратична форма зв'язані наступним співвідношенням: , яке випливає з наступного співвідношення: і властивостей симетрії форми .
Нехай форма в базисі визначається матрицею . = , де - координати вектора в базисі . Припустимо, що дана форма може бути приведена до канонічного вигляду , причому шукаються за формулами: і занумеровані так, що перші є додатними, а решту - від'ємними: , ,…, , ,…, .
Нехай , ,…, , ,…, , ,…, . В результаті отримаємо, (*) , що наз. нормальним видом квадратичної форми. Отже, з допомогою деякого невиродженого перетворення координат вектора в базисі , (**) , , , квадратична форма приведена до нормального вигляду.
Теорема1(закон інерції квадратичної форми): Число доданків з додатними (від'ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу приведення форми до даного вигляду.Доведення: Нехай форма з допомогою (**) приведена до (*), і з допомогою другого не виродженого перетворення координат прийдемо до нормального вигляду (***) .Для доведення теореми потрібно перевірити рівність .Нехай . Потрібно переконатися, що в даному випадку існує ненульовий вектор , що по відношенням до базисів, в яких форма має вигляд (*) і (***), координати даного вектора рівні нулю: (****). Так як отримані шляхом не виродженого перетворення (**) координат , а координати з допомогою аналогічного не виродженого перетворення тих же координат , то умову (****)можна розглядати як систему лінійних однорідних рівнянь відносно координат шуканого вектора в базисі .Так як , то число однорідних рівнянь (****) менше n, тому система (****) має ненульовий розв'язок відносно . Тому, якщо , то існує ненульовий вектор , для якого виконується рівність (****).В даному випадку отримаємо: .Дана рівність має місце, при і , що суперечить тому, що даний вектор є ненульовим. Аналогічно, при .Отже, .Теорема доведена.
10. Квадратична форма
Квадратична форма називається: додатньо (від'ємно) визначеною, якщо для будь-якого ненульового виконується рівність: ; знакозмінною, якщо існують такі , , що , .
Індексом інерції квадратичної форми наз. число відмінних від нуля канонічних коефіцієнтів даної форми; додатнім(від'ємним) індексом інерції- число додатних (від'ємних) канонічних коефіцієнтів.
Теорема2: Для того, щоб квадратична форма , задана в мірному лінійному просторі, була знакосталою, необхідно і досить щоб або додатній індекс інерції , або від'ємний індекс інерції були рівні розмірності простору .
Якщо , то форма додатньо визначена, якщо - то від'ємно визначена.
Доведення: Доведення проведемо для додатньо визначеної квадратичної форми. Для відємно визначеної квадратичної форми доведення проводиться аналогічно.
Необхідність: Нехай форма додатньо визначена. Тоді . Якщо , то із останнього виразу випливає, що для ненульового вектора з координатами , ,…, , ,…, , форма перетвориться в нуль, що суперечить означенню квадратичної форми. Отже, .
Достатність: Нехай . , , причому, якщо , то , тобто є нульовим. Відповідно, є додатньо визначена квадратична форма. Теорема доведена. Теорема3(Критерій Сильвестра): Для того, щоб квадратична форма ,була додатньо визначена необхідно і досить щоб усі кутові мінори були додатними, тобто , ,…, .
Для того, щоб квадратична форма ,була від'ємно визначена необхідно і досить щоб знаки кутових мінорів чергувалися, причому .
Доведення: Необхідність: Докажемо спочатку, що із умови знакозмінності квадратичної форми випливає що , .Нехай . Розглянемо квадратну однорідну систему лінійних рівнянь: . Так як , то система має ненульовий розв'язок (не всі рівні 0).Помножимоперше з рівнянь на , друге- на ,…, останнє на . В результаті отримаємо рівність , ліва частина якого являє собою значення квадратичної форми. для ненульового вектора х з координатами . Це значення рівне нулю що суперечить знакозмінності форми. Якщо - додотньо визначена форма. То всі канонічні коефіцієнти додатні. З формул для канонічних рівнянь випливає, що , ,…, . Якщо ж відємно визначена форма то всі
Loading...

 
 

Цікаве