WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Застосування степеневих рядів - Реферат

Застосування степеневих рядів - Реферат


Реферат
Застосування степеневих рядів
1. Обчислення значень функції.
Якщо функцію f(х) можна розвинути у ряд Тейлора і точка x0 належить його області збіжності, то для обчислення наближеного значення функції у точці х0 залишають перших п членів, а останні відкидають, тобто, якщо
і x0 належить області збіжності цього ряду, то приймають
Оцінка похибки такого наближення, тобто оцінка
зводиться до оцінки модуля суми відкинутих членів ряду, т обто до оцінки залишку ряду
Якщо ряд знакосталий, то його, як правило, порівнюють з геометричною прогресією. Якщо він знакопереміжний, то використовують оцінку . І, нарешті, у загальному випадку оцінюють залишковий член формули Тейлора.
У тому випадку, коли треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості якомога менше), яке гарантує таку точність.
Приклад 1.
Обчислити з точністю до 105.
Розв'язування.
Використаємо розклад у ряд Маклорена функції : Тоді для
Для х = 1/2 визначимо число п таке, щоб похибка наближеної рівності не перевищувала 105. Для цього використаємо знайдену вище оцінку і запишемо нерівність
зав'язавши її, одержимо, що для n=6.Отже
Приклад 2.
Обчислити sin 18° з точністю до 10-5
Розв'язування.
Використаємо розклад у ряд функції у = sin x. Маємо:
Одержаний ряд є знакопереміжним рядом, отже, залишок ряду не перевищує за абсолютною величиною першого з відкинутих членів ряду. Оскільки досить взяти 3 члени розкладу. Тому
2. Обчислення границь та наближене обчислення інтегралів.
Приклад 3.
Знайти
Розв'язування.
Скориставшись розвиненнями функцій sinx та еx у степеневі ряди, одержимо:
Приклад 4.
Обчислити з точністю до Ю"3.
Розв'язування.
Функція є неперервною на відрізку [0;2], отже, інтегрована на ньому. Проте її первісну не можна подати у скінченному вигляді через елементарні функції. Разом з тим, використавши розклад у ряд функції sinx, одержимо:
Число членів ряду, що гарантує задану точність, ми визначили з нерівності
Розвинувши функції в ряд Маклорена, знайти границі таких виразів:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Користуючись рядом Маклорена, обчислити з точністю :
Loading...

 
 

Цікаве