WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи векторної і матричної алгебри - Реферат

Елементи векторної і матричної алгебри - Реферат


Реферат на тему:
Елементи векторної і матричної алгебри
Д1.1.Основи векторноi алгебри
Основні закони механіки формулюються у векторній формі. Необхідною умовою переведення їх у скалярну форму є вміння вільно користуватися апаратом векторної й матричної алгебри.
Вектором називатимемо деякий об'єкт, що характеризується числом (яке називається довжиною вектора , або його модулем) і напрямком у просторі.
Сумою двох векторів і називається третій вектор , початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець - із кінцем другого вектора за умови, що початок другого вектора суміщено з кінцем першого (правило трикутника або правило паралелограма):
. (Д1.1)
Скалярний добуток двох векторів є скаляром, величина якого визначається як добуток модулів (довжин) векторів-множників на косинус кута між додатними напрямками векторів:
, (Д1.2)
де означає величину прямокутної проекції вектора на напрямок вектора :
= .
Наслідок 1. Якщо один із векторів і є одиничним, їхній скалярний добуток дорівнює величині проекції іншого вектора на напрямок одиничного.
Наслідок 2. Якщо обидва вектори і є одиничними, їхній скалярний добуток дорівнює косинусові кута між напрямками цих векторів.
Наслідок 3. Якщо вектори паралельні, їхній скалярний добуток дорівнює добутку довжин цих векторів.
Наслідок 4. Скалярний добуток вектора на себе дорівнює квадратові його довжини:
.
Наслідок 5. Скалярний добуток ортогональних векторів дорівнює нулеві.
Векторний добуток двох векторів і визначається як вектор , що є перпендикулярним до площини, що містить ці вектори-співмножники, спрямований у бік, із якого найкоротшій поворот від першого вектора до другого ввижається здійснюваним проти годинникової стрілки, і рівний площі паралелограма, побудованого на векторах-співмножниках як на сторонах
. (Д1.3)
Як випливає з визначення, якщо вектори-співмножники поміняти місцями у векторному добутку, то зміниться лише напрямок вектора на протилежний, а величина його залишиться тою самою. Цю властивість векторного добутку називають його антикомутативністю.
Наслідок 6. Векторний добуток паралельних векторів дорівнює нулю.
Наслідок 7. Векторний добуток вектора на себе дорівнює нулю.
Наслідок 8. Довжина вектора, що є векторним добутком двох ортогональних векторів, дорівнює добутку довжин векторів-співмножників.
Векторно-скалярний добуток трьох векторів та є скаляром, що чисельно дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках, як на сторонах.
Векторно-скалярний добуток припускає циклічне переставляння:
. (Д1.4)
Останні три рівності випливають із комутативності скалярного добутку. Із запису (4) випливає, що для векторно-скалярного добутку не має значення, між якими із сусідніх векторів ставити знак векторного добутку, а тому цей знак узагалі не ставлять, і записують векторно-скалярний добуток без усяких знаків у такий спосіб: (або , або , що є еквівалентним записом).
Якщо у зазначених комбінаціях поміняти місцями два сусідніх вектори, одержаний результат змінить свій знак на протилежний:
. (Д1.5)
Наслідок 9. Якщо два із трьох векторів паралельні, то їхній векторно-скалярний добуток дорівнює нулю. Зокрема, якщо серед трьох векторів двічі зустрічається той самий, їхній векторно-скалярний добуток дорівнює нулю.
Наслідок 10. Векторно-скалярний добуток трьох взаємноортогональних векторів дорівнює добутку довжин усіх трьох векторів.
Подвійний векторний добуток є вектором, що лежить у площині векторів і , що перемножуються першими, і тому припускає розкладання по напрямках цих векторів, як складових:
. (Д1.6)
Формула (6) часто використовується у механіці твердого тіла й теорії гіроскопів. З метою полегшення її запам'ятовування її називають "бац минус цаб".
Примітки.
1. Подвійний векторний добуток не має навіть властивості асоціативності. Дійсно, розглянемо співвідношення (6) за умови, що спочатку перемножуються вектори і :
.
Як бачимо, змінилася навіть площина результуючого вектора (раніше це була площина векторів і , а тепер - площина векторів і ).
2. У випадку, коли у подвійному векторному добутку зустрічаються два однакових вектори, одержимо:
. (Д1.7)
Д1.2. Форми подання векторів
Вектори й результати операцій над ними можуть бути подані у кількох математичних формах. Одна з них, яку щойно було застосовано, називається векторною і є найбільш узагальненою, бо не залежить від вибору координатного базису.
Існують і інші форми подання векторів. Усі вони потребують попереднього обрання деякого координатного базису (системи відліку). Серед них розрізнюватимемо форми: а) координатну, б) векторно-координатну і в) матричну.
У подальшому як базисну систему відліку завжди використовуватимемо прямокутну декартову систему (рис. Д1.1).
Д1.2.1. Координатна форма подання вектора
Координатна форма подання вектора - це завдання трійки чисел, що характеризують довжини проекцій цього вектора на осі базисної системи відліку:
.
Рис. Д1.1. Координатне подання вектора
У подальшому, задля більшої зручності подання формул переходу від однієї системи відліку до іншої, умовимося позначати першу з координатних осей ( або на рис. 1) цифрою 1, другу ( ) - цифрою 2 , а третю ( ) - цифрою 3. Сам координатний базис (систему відліку) позначатимемо однією великою літерою латинського алфавіту. Наприклад, позначимо через Р систему осей , а через S - систему . Тоді осі , і одержать найменування 1S, 2S та 3S, а осі , і - 1P, 2P та 3Р відповідно. З врахуванням цих позначень координатна форма подання вектора у системі набирає вигляду
, (Д1.8)
а в системі
, (Д1.9)
Величини визначаються як проекції вектора відповідно на осі 1P, 2P та 3Р :
. (Д1.10)
Рівність (10) є узагальненою формою запису усіх трьох проекцій вектора на осі довільно обраної системи відліку, причому індекс є номером осі системи координат Р, а - позначення одиничних векторів системи Р (ортів координатного базису).
Застосовуючи до ортів координатної системи операції скалярного й векторного добутків, запишемо таблицю цих добутків (вектори, що записані у лівій колонці є першими співмножниками, а ті, що записані зверху, - другими співмножниками):
Скалярні добутки ортів Векторні добутки ортів
(Д1.11) (Д1.12)
Д1.2.2. Деякі положення алгебри матриць
Матрицею розміром (m*n) називається прямокутна таблиця, що містить m рядків і n стовпців, елементами якої є дійсні або комплексні числа і яка має вигляд:
. (Д1.13)
Якщо m=n, матриця називається квадратною.
При m=1 матриця перетворюється у рядок:
, (Д1.14)
а при n=1 матрицяперетворюється у стовпець:
. (Д1.15)
Сумою матриць А і В однакового розміру (m*n) називають матрицю С того самого розміру, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць-складових:
(Д1.16)
тобто елементи матриці-суми визначаються за формулою:
.
Добутком двох матриць А і В розміром відповідно (m*n) і (n*r), тобто таких, що кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої (n), є матриця С розміром (m*r), елементи якої визначаються співвідношенням:
; . (Д1.17)
На рис. Д1.2 показано схему обчислення елемента матриці С.
Рис. Д1.2. Схема обчислення елемента добутку матриць
Зазначимо, що задля забезпечення можливості виконання операції множення розміри матриць мають бути узгоджені між собою у тому відношенні, що кількість стовпців першої матриці-множника має дорівнювати кількості рядків другої матриці.
Приклад 1. Добуток матриці-рядка на матрицю-стовпець дорівнює матриці розміром (1*1), тобто числу:
. (Д1.18)
Приклад 2. Добуток матриці-стовпця на матрицю-рядок дорівнює
Loading...

 
 

Цікаве