WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розклад вектора за базисом - Реферат

Розклад вектора за базисом - Реферат

Розклад вектора за базисом.
Означення . Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність
(1)
Означення . Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі .
В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.
Дійсно, якщо систему векторів із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (1) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів .
Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори лінійно залежні.
Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.
Якщо вектори із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді , тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв'язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів , не дорівнює нулю.
Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів = (-1,-2,-3); = (7,8,9); = (-4,-5,6) та системи векторів = (3,-2,4,1); = (-1,2,-1,2); = (1,2,2,5).
Розв'язування. Спочатку розглянемо систему векторів , та . Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:
Визначник цієї матриці |А| = - 48 + 72 + 105 - 96 +84 - 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r(A)=3 і вектори , , лінійно незалежні.
Тепер розглянемо систему векторів , , . Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:
Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2.
Тому вектори , , лінійно залежні.
Означення. Базисом n вимірного простору Еn називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.
Довільний вектор n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса так:
(2)
Числа називають координатами вектора у базисі векторів .
Приклад. Довести, що вектори = (5,4,3); = (-3,-1,2); та = (-3,1,3) утворюють базис в Е3, та розкласти вектор = (12,9,10) за цим базисом.
Розв'язування. Кожен із заданих векторів , , має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця складена з координат цих векторів
має визначник |А|= -15-24-9-9+36-10= -31 0, тому вектори , , лінійно незалежні. Згідно з означенням базиса, ці вектори утворюють базис в Е3.
Вектор також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна представити у вигляді (2) або
Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо
Матричним методом можна знайтирозв'язок цієї системи
Отже, маємо розклад за базисом
= 3
Координатами вектора у базисі , , будуть (3,2,-1).
Зауваження. Два лінійно залежних вектори задовольняють рівність , тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто
Вправи з векторної алгебри
1. Взяти довільний вектор і побудувати вектори
2. Використовуючи два довільні вектора та , побудувати
+ , - , - , 2 - 3
3. Паралелограм АВСD побудований на векторах та . Виразити через та вектори , , та , де М - точка перетину діагоналей.
4. При якому розташуванні вектора відносно осі його проекція:
а) додатня; b) від'ємна; с) дорівнює нулю?
5. Знайти координати векторів
2 +5 та 2 - , якщо = (2,-4,2), =(-3,2,-1)
6. Побудувати ромб АВСD і записати вектори, що утворені сторонами ромба та:
а) мають рівні модулі; b) колінеарні; с) рівні між собою
7. Задані точки М1 (1,2,3) та М2 (3,-4,6). Треба:
а) знайти координати векторів = = ;
b) знайти довжину відрізка М1М2 та косінуси кутів що утворює вектор з осями координат;
с) знайти орт вектора
8. Задана точка А(-2,3,-6). Обчислити:
а) координати радіус-вектора точки А;
b) модуль та косінуси кутів між та осями координат;
9. Чому дорівнює скалярний добуток , якщо:
а) та колінеарні і однаково напрямлені;
b) та протилежні;
с) ; d) =
10. Вектори та утворюють кут Обчислити:
а) ; b) (3 - 2 )( +2 ); c) | + |; d) |2 -3 |
11. Задані вектори =(1,-2,4), =(3,0,-1). Знайти модуль вектора =2 -3 та його напрямні косінуси.
12. Задані точки А(-1,3,-7), В(2,-1,5), С(0,1,-5)
Знайти
13. Перевірити колінеарність векторів =(2,-1,3) та (-6,3,-9)
14. Чи утворюють базис у тривимірному просторі вектори
= (1,2,2); = (1,2,3); = (1,2,-2)
15. Знайти:
а) усі можливі базиси системи векторів
= (1,1,1); = (1,2,2); =(1,1,3); = (1,1,-2)
b) координати у базисі , ,
Завдання для індивідуальної роботи.
Задані чотири вектори , , , . Довести, що вектори , , утворюють базис та знайти координати вектора , в цьому базисі та | |.
16. а = (2,1,0); b = (4,3,-3); с = (-6,5,7); d = (34,5,-26)
17. а = (1,0,5); b = (3,2,7); с = (5,0,9); d = (-4,2,-12)
18. а = (4,5,2); b = (3,0,1); с = (-1,4,2); d = (5,7,8)
19. а = (3,-5-2); b = (4,5,1); с = (-3,0,-4); d = (-4,5,-16)
20. а = (-2,3,5); b = (1,-3,4,); с = (7-8,-1); d = (1,20,1)
21. а = (1,3,5); b = (0,2,0); с = (5,7,9); d = (0,4,16)
22. а = (2,4,-6); b = (1,3,5); с = (0,-3,7); d = (3,2,52)
23. а = (4,3,-1); b = (5,0,4); с = (2,1,2); d = (0,12,-6)
24. а = (3,4,-3); b = (-5,5,0); с = (2,1,-4); d = (8,-16,17)
25. а = (-2,1,7); b = (3,-3,8); с = (5,4,-1); d = (18,25,1)
Loading...

 
 

Цікаве