WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійний векторний простір - Реферат

Лінійний векторний простір - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
Лінійний векторний простір
ПЛАН
1. Поняття підпростору
2. Поняття лінійного векторного простору
3. Ранг скінченної системи векторів, правила його обчислення
4. Список використаної літератури
Підмножини векторного простору L, замкнуті щодо його операцій, називаються підпросторами L. По будь-якому підпросторі S можна побудувати новий векторний простір L/S, називане фактором-простором L по S: кожен його елемент є безліч векторів з L, що розрізняються між собою на елемент із S. Розмірність L/S називається коразмірністю підпростору S у L; якщо розмірності L і S рівні відповідно n і k, те коразмірність S у L дорівнює n-k. Якщо J - довільна безліч індексів i і Si - сімейство підпросторів L, те сукупність усіх векторів, що належать кожному з Si, є підпростір, називається перетинанням зазначених підпросторів і що позначається . Для кінцевого сімейства підпросторів S1, ..., Ss сукупність усіх векторів, які представлені у виді
, xi з Si,
(*)
є підпростір, називаний сумою S1, ..., Ss і що позначається S1+ ... +Ss. Якщо для будь-якого елемента суми S1+ ... +Ss представлення у виді (*) єдино, ця сума називається прямої і позначається . Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з нульового вектора. Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L1 і L2 називають ізоморфним і, якщо існує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L1 і L2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.
Конкретні приклади векторного простору можна знайти в математичному апараті практично будь-якого розділу фізики. Кінцевомірними речовинними векторними просторами є, наприклад, трехмерное физическое пространство (без обліку кривизни), конфигурационное пространство і фазовое пространство системи n класичних крапкових часток. До числа безкінечномірних комплексних векторних просторів належать гильбертовы пространства, конкретну й абстрактну, складову основу математичного апарата квантової фізики. Найпростіший приклад гільбертова просторів уже згадуваний простір .
Основні фізичні приклади - простору векторів станів різних систем мікрочастинок, досліджуваних у квантовій механіці, квантовій статистичній фізиці і квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань квантовой механики, а гільбертовий простір над полем октоніонов - в одній з формулювань квантової хромодинаміки. У сучасних теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.
Множина називається лінійним простором, а його елементи - векторами, якщо:
1) Заданий закон (операція додавання), за яким довільним двом елементам із ставиться у відповідність елемент який називається сумою.
2) Заданий закон (операція множення на число), за яким елементу із і числу ставиться у відповідність елемент із який називається добутком на і позначається
3) Для довільних елементів і із і довільних чисел
і виконуються такі вимоги (аксіоми):
10.
20.
30. Існує елемент такий, що для кожного виконується рівність
40. Для кожного існує елемент такий, що
50.
60.
70.
80. Добуток довільного елемента на число 1 дорівнює тобто
Якщо обмежитися дійсними числами, то називається дійсним лінійним простором; якщо ж визначене множення на довільне комплексне число, то лінійний простір називається комплексним.
Вектор називається протилежним вектору Вектор називається нульовим вектором або нулем.
Приклад 1. Розглянемо множину визначених і неперервних на відрізку функцій однієї змінної Довільним двом функціям і із цієї множини можна співставити їх суму яка також буде визначена і неперервна на , а, значить, буде належати даній множині. Числу і функції ставиться у відповідність функція яка, очевидно, також буде належати даній множині. Всі вісім аксіом виконуються. Роль нуля відіграє функція тотожньо рівна нулю. Отже, визначені та неперервні на відрізку функції утворюють лінійний простір.
Приклад 2. Нехай множина всіх многочленів однієї змінної, степінь яких не вище заданого числа Сума двох многочленів із є також многочлен степеня не вище і добуток многочлена із на число належить Легко перевірити, що всі аксіоми лінійного простору виконуються. Роль нуля відіграє многочлен, всі коефіцієнти яких дорівнюють нулю. буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.
Із аксіом випливає існування тільки одного нульового вектора, а також для кожного вектора існування тільки одного протилежного. Дійсно, допустимо, що існують два елементи 01,02, що задовольняють аксіомі 30. Тоді 01+02=01=02. Аналогічно, якщо деякий вектор має два протилежних і то сума повинна дорівнювати і і
Рівність означає, що протилежним для нульового вектора є він самий, а із рівності випливає, що протилежним вектором для є вектор
Суму векторів і будемо позначати і називати різницею векторів і
Звідси випливає, що для довільного Дійсно,
Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору
Якщо то або , або
Вираз
називається лінійною комбінацією векторів
Множина називається лінійним простором, а його елементи - векторами, якщо:
1) Заданий закон (операція додавання), за яким довільним двом елементам із ставиться у відповідність елемент який називається сумою.
2) Заданий закон (операція множення на число), за яким елементу із і числу ставиться у відповідність елемент із який називається добутком на і позначається
3) Для довільних елементів і із і довільних чисел
і виконуються такі вимоги (аксіоми):
10.
20.
30. Існує елемент такий, що для кожного виконується рівність
40. Для кожного існує елемент такий, що
50.
60.
70.
80. Добуток довільного елемента на число 1 дорівнює тобто
Якщо обмежитися дійсними числами, то називається дійсним лінійним простором; якщо ж визначене множення на довільне комплексне число, то лінійний простір називається комплексним.
Вектор називається протилежним вектору Вектор називається нульовим вектором або нулем.
Приклад 1. Розглянемо множину визначених і неперервних на відрізку функцій однієї змінної Довільним двом функціям і із цієї множини можна співставити їх суму яка також буде визначена і неперервна на , а,значить, буде належати даній множині. Числу і функції ставиться у відповідність функція яка, очевидно, також буде належати даній множині. Всі вісім аксіом виконуються. Роль нуля відіграє функція тотожньо рівна нулю. Отже, визначені та неперервні на відрізку функції утворюють лінійний простір.
Приклад 2. Нехай множина всіх многочленів однієї змінної, степінь яких не вище заданого числа Сума двох многочленів із є також многочлен степеня не вище і добуток многочлена із на число належить Легко перевірити, що всі аксіоми лінійного простору виконуються. Роль нуля відіграє многочлен, всі коефіцієнти яких дорівнюють нулю. буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.
Із аксіом випливає існування тільки одного нульового вектора, а також для кожного вектора існування тільки одного протилежного. Дійсно, допустимо, що існують два елементи 01,02, що задовольняють аксіомі 30. Тоді 01+02=01=02. Аналогічно, якщо деякий вектор має два протилежних і то сума повинна дорівнювати і і
Рівність означає, що протилежним для нульового вектора є він самий, а із рівності випливає, що протилежним вектором для є вектор
Суму векторів і будемо позначати і називати різницею векторів і
Звідси випливає, що для довільного Дійсно,
Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору
Якщо то або , або
Вираз
називається лінійною комбінацією векторів
Використана література:
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. - К., 1997.
2. Дубовик В.П. Вища математика. - к., 2001.
Loading...

 
 

Цікаве