WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні поняття теорії графів - Реферат

Основні поняття теорії графів - Реферат


Реферат на тему:
"Основні поняття теорії графів"
Вступ
Роком виникнення теорії графів одностайно вважається рік 1736, коли Леонард Ейлер опублікував розв'язок так званої задачі про кенігсберзькі мости, а також знайшов загальний критерій існування ейлерового циклу в графі.
Отримання дальших суттєвих результатів у цій галузі датують серединою ХIХ століття. Однак початок проведення активних систематичних досліджень та становлення теорії графів як окремішного авторитетного розділу сучасної математики відбулося ще майже 100 років по тому, тобто в середині ХХ століття. Саме з цього часу граф стає однією з найпоширеніших і найпопулярніших математичних моделей у багатьох сферах науки і техніки. Картинка у вигляді набору точок на площині та ліній, проведених між деякими з них, стала зручною і наочною формою зображення найрізноманітніших об'єктів, процесів та явищ.
Великою мірою це пов'язано з виникненням, бурхливим розвитком та поширенням електронних обчислювальних машин і, як наслідок, значним зростанням ролі задач дискретного характеру. Математика від "обслуговування" переважно фізики переходить до проникнення своїх методів у інші сфери людської діяльності. Одним з потужних інструментів такого проникнення є граф.
Із суто формальної точки зору граф можна розглядати як один з різновидів алгебраїчної системи (а саме, як модель), а отже, і всю теорію графів як розділ сучасної алгебри. Справді, результати та методи алгебри широко використовуються в теорії графів. Однак за останні півстоліття активного інтенсивного та екстенсивного розвитку теорія графів виробила свою достатньо специфічну власну проблематику і методологію. На сьогодні теорія графів є однією зі складових математичного апарату кібернетики, важливим розділом дискретної математики.
Поняття графа. Способи завдання графів
Нехай V деяка непорожня скінченна множина, а V (2) множина всіх двохелементних підмножин (невпорядкованих пар різних елементів) множини V.
Графом (неорієнтованим графом) G називається пара множин (V,E ), де E довільна підмножина множини V (2) (E V (2)); позначається G =(V,E ).
Елементи множини V називаються вершинами графа G, а елементи множини E ребрами графа G. Відповідно V називається множиною вершин і E множиною ребер графа G.
Традиційно ребра {v,w} записуються за допомогою круглих дужок (v,w) (іноді просто vw).
Граф, який складається з однієї вершини, називається тривіальним.
Оскільки для тривіального графа або так званих порожніх графів G =(V, ) переважну більшість властивостей та тверджень перевірити неважко, то надалі не будемо кожен раз при формулюванні та доведенні тих чи інших загальних тверджень теорії графів спеціально обумовлювати, що йдеться про нетривіальні графи (при цьому для тривіального або порожнього графів результат може бути дещо іншим).
Нехай задано граф G =(V,E ). Якщо (v,w) Е, то кажуть, що вершини v i w є суміжними, у противному разі вершини v i w є несуміжними. Якщо е=(v,w) ребро графа, то вершини v i w називаються кінцями ребра е. У цьому випадку кажуть також, що ребро е з'єднує вершини v i w. Вершина v і ребро е називаються інцидентними, якщо v є кінцем е.
Два ребра називаються суміжними, якщо вони мають спільну вершину.
Існує декілька способів завдання графів.
Одним зі способів завдання графа G =(V,E ) є завдання кожної з множин V і E за допомогою переліку їх елементів.
Приклад 3.1. Граф G1=(V1,E1), V1={v1,v2,v3,v4} і E1={(v1,v3), (v1,v4),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4)} це граф із чотирма вершинами і п'ятьма ребрами.
А граф G2=(V2,E2), V2={v1,v2,v3,v4,v5} і E2={(v1,v2),(v2,v4),(v1,v5), (v3,v2),(v3,v5),(v4,v1),(v5,v4)} граф із п'ятьма вершинами і сімома ребрами.
Граф G =(V,E ) зручно зображати за допомогою рисунка на площині, який називають діаграмою графа G. Вершинам графа G ставляться у бієктивну відповідність точки площини; точки, що відповідають вершинам v i w, з'єднуються лінією (відрізком або кривою) тоді і тільки тоді, коли v i w суміжні вершини. Зрозуміло, що діаграма графа змінюватиме свій вигляд у залежності від вибору відповідних точок на площині.
Приклад 3.2. На рисунку 3.1 зображені діаграми графів G1 i G2 з попереднього прикладу.
G1 G2
Рис 3.1
Графи можна задавати також за допомогою матриць.
Занумеруємо всі вершини графа G натуральними числами від 1 до n. Матрицею суміжності A графа G називається квадратна
n n-матриця, в якій елемент aij i-го рядка і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо вершини vi та vj з номерами i та j суміжні, і дорівнює 0 у противному разі.
Приклад 3.3. Для графів G1 i G2 маємо відповідно
A1= i A2=
Очевидно, що матриці суміжності графів симетричні.
Занумеруємо всі вершини графа G числами від 1 до n і всі його ребра числами від 1 до m. Матрицею інцидентності B графа G називається n m-матриця, в якій елемент bij i-го рядка і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо вершина vi з номером i інцидентна ребру ej з номером j, і дорівнює 0 у противному разі.
Приклад 3.4. Для графів G1 і G2 маємо (ребра графів нумеруємо в тому порядку, в якому вони виписані в прикладі 3.1)
B1= і B2=
Нарешті, ще одним способом завдання графів є списки суміжності. Кожній вершині графа відповідає свій список. У список, що відповідає вершині v, послідовно записуються всі суміжні їй вершини.
Приклад 3.5. Для графів G1 і G2 маємо списки
G1: G2:
v1: v3,v4 v1: v2,v4,v5
v2: v3,v4 v2: v1,v3,v4
v3: v1,v2,v4 v3: v2,v5
v4: v1,v2,v3 v4: v1,v2,v5
v5: v1,v3,v4
Вибір та зручність того чи іншого зі способів завдання графів залежать від особливостей задачі, яка розв'язується.
2. Підграфи. Ізоморфізм графів. Алгебра графів
Граф G1=(V1,E1) називається підграфом графа G =(V,E ), якщо V1 V i E1 E.
Важливі класи підграфів складають підграфи, які отримуються в результаті застосування до заданого графа операції вилучення вершини і/або операції вилучення ребра.
Операція вилучення вершини v з графа G =(V,E ) полягає у вилученні з множини V елемента v, а з множини E всіх ребер, інцидентних v.
Операція вилучення ребра e з графа G =(V,E ) це вилучення елемента e з множини E. При цьому всі вершини зберігаються.
Графи G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначне відображення множини вершин V1 на множину вершин V2, що ребро (v,w) E1 тоді і тільки тоді, коли ребро ( (v), (w)) E2. Відображення називається ізоморфним відображенням або ізоморфізмом графа G1 на граф G2.
Таким чином, ізоморфні графи відрізняються фактично лише ідентифікаторами (іменами) своїх вершин. З точки зору теорії графів ця відмінність не є суттєвою, тому звичайно ізоморфні графи ототожнюють і, зображаючи графи у вигляді діаграм, або зовсім не
Loading...

 
 

Цікаве