WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Геометричне означення імовірності - Реферат

Геометричне означення імовірності - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
"Геометричне означення імовірності"
Недолік класичного означення - він не застосовним для експериментів з нескінченним числом закінчень.
Геометричне означення - імовірність влучення точки в область (відрізок, частину площини...).
Геометричне означення імовірності є узагальненням класичного означення на випадок, коли число рівноможливих елементарних закінчень нескінченне. Слід звернути увагу на те, що в одній і тій же ситуації можуть бути обрані різні уявлення про "міру".
Відрізок складає частина відрізка L. На відрізок L на сліпу поставлена точка. Це означає виконання наступних припущень: поставлена точка може виявитися в будь-якій точці відрізка L. Імовірність улучення точки на відрізок l пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування щодо відрізка L. У цих припущеннях ймовірність влучення точки на відрізок l визначається рівністю:
P=довжина l/довжина L
Розглянемо яку-небудь область у (на прямій, на площині, у просторі). Припустимо, що "міра" (довжина, площа, обсяг, відповідно) кінцева. Нехай випадковий експеримент полягає в тому, що ми наудачу кидаємо в цю область точку. Термін "наудачу" означає, що імовірність улучення точки в будь-яку частину не залежить від форми або розташування у середині .
Означення 1.
Експеримент задовольняє умовам "геометричного означення імовірності", якщо його закінчення можна зобразити точками деякої області в так, що імовірність улучення точки в будь-яку частину не залежить від форми чи розташування усередині , а залежить лише від міри області і, отже, пропорційна цій мірі:
де позначає міру області (довжину, площу, обсяг і т.д.).
Якщо для точки, кинутої в область , виконані умови геометричного означення імовірності, то говорять, що точка рівномірно розподілена в області .
Приклад. Точка наудачу кидається на відрізок [0, 1]. Імовірність їй потрапити в точку 0,5 дорівнює нулю, тому що дорівнює нулю міра безлічі, що складає з однієї точки ("довжина точки"). Але влучення в точку 0,5 не є невозможным событием - це один з елементарних закінчень експерименту. Загальне число елементарних закінчень тут нескінченно, але усі вони як і раніше "рівноможливі" - уже не в змісті класичного визначення ймовірності, застосувати яке тут не можна через нескінченність числа закінчень, а в змісті определения 1.
Задача про зустріч
Приклад 8. Два обличчя й умовилися зустрітися у визначеному місці між двома і трьома годинник дня. Той, хто прийшов першим чекає іншого протягом 10 хвилин, після чого іде. Чому дорівнює імовірність зустрічі цих облич, якщокожний з них може прийти в будь-який час протягом зазначеної години незалежно від іншого?
Рішення. Будемо вважати інтервал з 14 до 15 годин відрізком [0, 1] довжиною в 1 годину. Нехай ("кси") і ("ця") - моменти приходу і - точки відрізка [0, 1]. Усі можливі результати експерименту - точки квадрата зі стороною 1:
Можна вважати, що експеримент зводиться до кидання точки наудачу в квадрат. При цьому сприятливими исходами є точки безлічі :
(10 хвилин = 1/6 години). Влучення в безліч наудачу кинутої в квадрат точки означає, що і зустрінуться. Тоді імовірність зустрічі дорівнює
Задача Бюффона(1)
Приклад 9. На площині накреслені рівнобіжні прямі, що знаходяться друг від друга на відстані . На площину наудачу кинута голка довжини . Яка імовірність того, що голка перетне яку-небудь пряму?
Рішення. Зрозуміємо, що означає тут "наудачу кинута голка". Можливі положення голки (відрізка) на площині цілком визначаються положенням середини голки і кутом повороту голки щодо якого-небудь напрямку. Причому два ці перемінні (положення центра і кут повороту) міняються незалежно друг від друга. Позначимо через відстань від середини голки до найближчої прямої, а через - кут між якимсь напрямком прямих і голкою. Безліч можливих положень голки цілком визначається вибором наудачу точки з прямокутника .
Голка перетинає найближчу пряму, якщо координати обраної наудачу точки задовольняють нерівності: . Площа області , точки якої задовольняють такій нерівності, дорівнює
Поділимо на й одержимо, що шукана імовірність дорівнює .
Розглянемо ще приклад.
Курсант школи міліції на заняттях по вогневій підготовці веде стрілянину по плоскій мішені, яка представляє коло радіусом 20 см.
Постріл визнається успішним, якщо курсант потрапить у "яблучко" - коло радіусом 5 см у центрі мішені. Яка імовірність того, що постріл буде успішним?
Нехай подія А - "постріл успішний". Тому що в прикладі розглядаються тільки кола (мішень і "яблучко"), то яку міру області можна взяти за радіус кола (тобто довжину).
Відповіді вийдуть різні й у цьому немає нічого дивного - адже ми шукаємо імовірності в різних ймовірнісних просторах (тобто використовуємо різні математичні моделі).
Список використаної літератури
1. Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. - К.: Вища школа., 1993.
2. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа. 1964.
3. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. - М.: ЮНИТИ, 1997.
Loading...

 
 

Цікаве