WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Диференціальні рівняння. Поняття про рівняння ліній - Реферат

Диференціальні рівняння. Поняття про рівняння ліній - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
Диференціальні рівняння. Поняття про рівняння ліній
ПЛАН
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними
змінними.
2. Лінійні диференціальні рівняння.
Список використаної літератури
1. Поняття про диференціальні рівняння
Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями.
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних порядків:
F(x,y,y ,y ,…)=0
Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.
Приклади.
1. Диференціальне рівняння другого порядку y +2y -3y=x2+1 .
2. Диференціальне рівняння третього порядку y =cos(x).
Означення. Розв'язком диференціального рівняння називають функцію, яка в разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.
Приклади.
1. Розв'язками диференціального рівняня першого порядку y =3x2 є функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…
Отже, загальний розв'язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C - довільна стала.
2. Загальним розв'язком рівняння другого порядку y =sin(x) є сім'я функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 - довільні сталі. Частковими ж розв'язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10, y= sin(x)+2x+1 тощо.
Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних), наприклад:
u x(x,y)+u y(x,y)=2u(x,y)+x+y
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y (x):
F(x,y,y )=0 (1)
Розглянемо деякі способи розв'язування таких рівнянь.
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
f1(x) 2(y)dx+f2(x) 1(y)dy=0 (2)
називається рівнянням з розділеними змінними.
Приклади.
1. Розв'язати диференціальне рівняння .
Виконуємо ділення на вираз , розділивши тим самим змінні:
Почленно інтегруємо:
,
застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та
1-y2=u (звідки -2ydy=du; ydy=(-du)/2):
;
;
;
;
.
Отримано загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.
2. Розв'язати диференціальне рівняння y =7x+y .
Розділяємо змінні:
;
.
Інтегруємо праву та ліву частини:
.
Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:
-7y=7x+C .
Отже, загальним розв'язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C)
7y+7x=C .
3. Розв'язати диференціальне рівняння
;
;
arctgy=arctgx+C .
Отримано загальний розв'язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв'язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:
arctgy=arctgx+arctgC.
Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:
.
(загальний розв'язок, записаний у явному вигляді).
2. Лінійні диференціальні рівняння
Означення.Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
y =a(x) y=0 (3)
Таке рівняння розв'язують як рівняння із розділеними змінними:
;
;
;
;
- загальний розв'язок.
Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
y +a(x) y=b(x) (4)
Одним із методів його розв'язування є шукання розв'язку у вигляді
.
Приклад. Розв'язати лінійне (неоднорідне) рівняння
.
Розв'язок однорідного рівняння y +2xy=0 має вигляд
.
Розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
,
де C(x) функція від x .
Знайдемо похідну від цього виразу: ,
і підставимо відшукані значення y та y в початкове рівняння:
;
С (x)=2x ;
dC(x)=2xdx ;
C(x)=x2+C .
Отримуємо загальний розв'язок
.
Приклад. Розв'язати лінійне рівняння першого порядку 2xy -y=3x2.
Загальним розв'язком однорідного рівняння є сім'я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від сталої C)
.
Знаходимо загальний розв'язок початкового рівняння у вигляді . Тоді .
Підставляючи y та y в рівняння, маємо
Отже, загальний розв'язок неоднорідного рівняння є таким: .
Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами - це рівняння вигляду
y + py + qy=0 , (5)
де p та q - сталі величини.
З метою розв'язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння
2+p +q=0
Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні дійсні корені 1 та 2 , загальний розв'язок диференціального рівняння такий:
,
де C1 та C2 - довільні сталі.
У випадку кратних дійсних коренів 1= 2= характеристичного рівняння загальний розв'язок диференціального рівняння має вигляд
Приклад. Розв'язати рівняння y +2y -15y=0.
Будуємо характеристичне рівняння 2+2 -15=0, звідки 1=3; 2=-5.
Отже, загальний розв'язок є такий:
Приклад. Розв'язати рівняння y +2y +y=0.
Будуємо характеристичне рівняння 2+2 +1=0, звідки 1= 2=-1.
Отже, загальний розв'язок:: .
Список використаної літератури
1. Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. -К.: Вища школа., 1993.
2. Кремер Н. Ш. Высшая математика. - М.: ЮНИТИ, 1997.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М. : Наука, 1985, - т.1. - 432 с.
4. Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої математики. - Хмельницький, 1999. - ч.1. - 437 с.
5. Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої математики. - Хмельницький, 2000. - ч.2. - 315 с.
Loading...

 
 

Цікаве