WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійний векторний простір - Реферат

Лінійний векторний простір - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
Лінійний векторний простір
План
1. Базис лінійного простору
2. Основні теореми про базис
3. Розмірність лінійного простору
4. Використана література
Означення. Базисом в просторі називається довільна впорядкована кінцева система векторів, якщо: а) вона є лінійно незалежною; б) кожний вектор із є лінійною комбінацією векторів цієї системи.
Впорядкована система координат - це, коли кожному вектору в даній системі відповідає певний номер. Із однієї і тієї ж системи векторів можна одержати різні базиси, нумеруючи по-різному вектори.
Коефіцієнти розкладу довільного вектора простору за векторами базису називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі.
Вектори базису будемо записувати як матрицю-рядок: а координати вектора за базисом в матрицю-стовпчик: який назвемо координатним стовпчиком вектора.
Тоді ми можемо записати розклад вектора за базисом в такому вигляді
(4.10)
Теорема 1. В заданому базисі координати вектора визначаються однозначно.
Д о в е д е н н я. Допустимо протилежне. Нехай маємо дві рівності і з яких випливає В силу лінійної незалежності векторів всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю, тобто при всіх
Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли лінійно залежні їх координатні стовпчики.
Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі їх координатних стовпчиків. Координатний стовпчик добутку вектора на число дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число.
Для доведення досить виписати такі рівності:
Теорема 2. Якщо в лінійному просторі існує базис із векторів, то довільний інший базис в цьому просторі складається із того ж числа векторів.
Д о в е д е н н я. Нехай в лінійному просторі існує два базисі і причому Кожний з векторів базису розкладемо за векторами базису і складемо матрицю, стовпчиками якої будуть одержані координатні стовпчики. Кожний стовпчик має висоту а їх всього Тому матриця має розміри і ранг її не перевищує В силу теореми 2 п.4.1.3 стовпчики матриці лінійно залежні, а, значить, залежні і вектори Таким чином, наше припущення приводить до протиріччя. Теорема доведена.
Означення. Лінійний простір, в якому існує базис із векторів, називається вимірним, а число розмірністю простору. Розмірність простору будемо вказувати нижнім індексом, наприклад - вимірний лінійний простір.
В нульовому просторі немає базису, оскільки система, що складається із одного нульового вектора, є лінійно залежною. Розмірність нульового простору дорівнює нулю.
Може виявитися, що яке б не було натуральне в просторі знайдеться лінійно незалежних векторів. Такий простір називається нескінченновимірним. Базису в ньому не існує.
Якщо в вимірному просторі задані два базиси і , то ми можемо розкласти кожний вектор базису за векторами базису :
(4.11)
Координати можна записати у вигляді квадратної матриці
Стовпчики матриці це координатні стовпчики векторів за базисом Тому стовпчики матриці лінійно незалежні і
Матриця, ий стовпчик якого є координатний стовпчик вектора за базисом називається матрицею переходу від базису до базису
Рівність (4.11) можна записати в матричному вигляді
(4.12)
Перемножуючи рівність (4.12) на матрицю одержимо
Звідси випливає, що є матрицею переходу від базису до
Вияснимо, як зв'язані між собою координати одного і того ж вектора в двох базисах і Позначимо через і координатні стовпчики вектора в цих базисах. Це означає, що і звідки одержимо Якщо матриця переходу від базису до то і тоді або З останньої рівності одержимо:
(4.12)
У векторній алгебрі розглядалися множини (вектори), в яких були визначені операції додавання і множення на число. Двом векторам за правилом паралелограма ми співставляли вектор, який називався їх сумою. Вектору і числу співставлявся вектор, яки називається добутком на число
Розглядаючи множину матриць одних і тих же розмірів, ми ввели операції додавання (сума матриць), а також операцію множення матриці на число. Властивості цих операцій співпадають з відповідними операціями з векторами.
В кожній множині операції визначаються по-своєму, але мають одні і ті ж властивості: комутативність і асоціативність додавання, дистрибутивність множення на число по відношенню до додавання чисел і т.д. Нижче будуть наведені й інші приклади множин, в яких визначені операції, що мають такі ж властивості.
Природно виникає необхідність дослідити множину, що складається із елементів довільної природи, в якій визначені операції додавання двох елементів і множення елемента на число. Ці операції можуть бути визначені довільним чином, лише б мали певний набір властивостей.
Означення. Множина називається лінійним простором, а його елементи - векторами, якщо:
1) Заданий закон (операція додавання), за яким довільним двом елементам із ставиться у відповідність елемент який називається сумою.
2) Заданий закон (операція множення на число), за яким елементу із і числу ставиться у відповідність елемент із який називається добутком на і позначається
3) Для довільних елементів і із і довільних чисел
і виконуються такі вимоги (аксіоми):
10.
20.
30. Існує елемент такий, що для кожного виконується рівність
40. Для кожного існує елемент такий, що
50.
60.
70.
80. Добуток довільного елемента на число 1 дорівнює тобто
Якщо обмежитися дійсними числами, то називається дійсним лінійним простором; якщо ж визначене множення на довільне комплексне число, то лінійний простір називається комплексним.
Вектор називається протилежним вектору Вектор називається нульовим вектором або нулем.
Приклад 1. Розглянемо множину визначених і неперервних на відрізку функцій однієї змінної Довільним двом функціям і із цієї множини можна співставити їх суму яка також буде визначена і неперервна на , а, значить, буде належати даній множині. Числу і функції ставиться у відповідність функція яка, очевидно, також буде належати даній множині. Всі вісім аксіом виконуються. Роль нуля відіграє функція тотожньо рівна нулю. Отже, визначені та неперервні на відрізку функції утворюють лінійний простір.
Використана література:
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. - К., 1997.
2. Дубовик В.П. Вища математика. - к., 2001.
Loading...

 
 

Цікаве