WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Незчисленні множини - Реферат

Незчисленні множини - Реферат


РЕФЕРАТ
на тему:
Незчисленні множини
Чи всі нескінченні множини зліченні, або чи існують нескінченні множини, які не будуть зліченними? Факт існування множин, які не є зліченними (незліченних множин), вперше був встановлений Г.Кантором за допомогою запропонованого ним діагонального методу, який набув згодом фундаментального значення в різних розділах математики. Зокрема, цей метод лежить в основі доведення наступної важливої теореми, яка належить Г.Кантору.
Теорема 1. Множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) незліченна.
Доведення. Відомо, що кожному дійсному числу з інтервалу (0,1) можна поставити у відповідність нескінченний десятковий дріб 0,a1a2a3.... Для ірраціональних чисел цей нескінченний десятковий дріб є неперіодичним. Для кожного раціонального числа, яке зображується скінченним десятковим дробом, з двох можливих варіантів запису його у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу (з періодом 0 або періодом 9) зафіксуємо період 9. Наприклад, число 0,123 (або 0,123000...) будемо записувати у вигляді 0,122999..., а число 0,7 - у вигляді 0,699.... Очевидно, що запропонована відповідність буде взаємно однозначною.
Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що сформульоване твердження хибне і множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) зліченна. Тобто існує нумерація цих чисел x1,x2,...,xn,.... Перепишемо у вигляді нескіченних десяткових дробів усі числа з інтервалу (0,1) в порядку їхньої нумерації
x1 = 0, a11 a12 a13 ... a1n...,
ч
x2 = 0, a21 a22 a23 ... a2n...,
ч
x3 = 0, a31 a32 a33 ... a3n...,
ч
...............................
xn = 0, an1 an2 an3 ... ann...,
...............................
Рухаючись по діагоналі (вказаної стрілками), утворимо новий нескінченний десятковий дріб 0,b1b2...bn... такий, що b1 a11, b2 a22,...,bn ann,.... Додатково для того, щоб уникнути ситуації з можливістю зображення одного й того ж раціонального числа у двох формах, будемо вибирати значення цифр bi так, щоб bi 0 і bi 9, i=1,2,.... Утворений дріб є записом деякого дійсного числа y з інтервалу (0,1), однак він не належить розглядуваній зліченній множині. Справді, побудований дріб відрізняється від кожного з дробів нашої нумерації x1,x2,...,xn,... принаймні однією цифрою. Точніше, y xn тому, що дроби y і xn відрізняються принаймні n-ю цифрою після коми (n=1,2,...). З одержаної суперечності випливає, що не існує переліку для множини всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1). Отже, припущення щодо її зліченності хибне і розглядувана множина - незліченна. Теорема доведена.
Будь-яка множина, рівнопотужна множині всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1), називається континуальною, або множиною потужності континуум.
Теорема 2. Якщо M - незліченна множина, а A - скінченна або зліченна підмножина множини M, то множини MA і M рівнопотужні, тобто
M A ~ M.
Доведення. Очевидно, що множина M A незліченна. Якби множина M'=M A була зліченною, то за теоремою 1.4 множина M = M' A була б також зліченною, що суперечило б умові теореми. Тоді за теоремою 1.2 множина M' містить зліченну підмножину B (B M A). Позначимо C=(MA)B, тоді маємо M A=B C і M=(A B) C. Множина A B зліченна. Тоді з рівнопотужностей B~(A B) і C ~ C, а також того, що C B= і C (A B)= , випливає співвідношення B C~(A B) C, тобто M A ~ M.
Сформулюємо декілька наслідків, які випливають із доведених теорем.
Наслідок 1.1. Якщо M - нескінченна множина, а множина A - скінченна або зліченна, то M A ~ M.
Будемо вважати, що M A= . Якщо M A , то у доведенні можна використати скінченну або зліченну множину A' = A M таку, що M A=M A' і M A' = .
Якщо M зліченна множина, то M A також зліченна множина (теорема 1.4), отже M A ~ M.
Якщо M незліченна множина, то M A також незліченна множина. Тоді за теоремою 2. (M A) A ~ M A, тобто M ~ M A, оскільки (M A) A = M.
Наслідок 2. Множина всіх ірраціональних чисел континуальна.
Число, яке не є коренем жодного многочлена з раціональними коефіцієнтами, називається трансцендентним.
Наслідок 3. Множина всіх трансцендентних чисел континуальна.
Справедливість наслідків 2 і 3 випливає з континуальності множин R і C всіх дійсних і комплексних чисел відповідно, зліченності множин усіх раціональних і всіх алгебраїчних чисел та теореми 1.
Із доведених теорем випливає також рівнопотужність інтервалів (0,1) ~ [0,1) ~ (0,1] ~ [0,1].
Сформульована нижче теорема встановлює певний зв'язок між зліченними і континуальними множинами і у своєму доведенні знову використовує діагональний метод Кантора.
Теорема 2. Множина (A) всіх підмножин зліченної множини A має потужність континуум.
Доведення. Оскільки всі зліченні множини рівнопотужні множині N натуральних чисел, то достатньо довести континуальність булеана (N) множини N. Маючи взаємно однозначну відповідність між множиною N і деякою множиною A, неважко побудувати взаємно однозначну відповідність між їхніми булеанами (N) і (A).
Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що множина (N) зліченна й існує нумерація всіх її елементів, тобто (N)={M1,M2,...,Mk,...}, де Mk N, k=1,2,.... Поставимо у відповідність кожній множині Mk послідовність tk з нулів і одиниць m1(k), m2(k),...,mi(k),... за таким законом
1, якщо i Mk,
mi(k) =
0, якщо i Mk.
Очевидно, ця відповідність є взаємно однозначною.
Розташуємо всі елементи множини (N) і відповідні їм послідовності у порядку нумерації:
M1 - m1(1), m2(1),...,mk(1),...
M2 - m1(2), m2(2),...,mk(2),...
............................................
Mk - m1(k), m2(k),...,mk(k),...
............................................
Використовуючи діагональний метод Кантора, побудуємо нову послідовність L з нулів і одиниць l1,l2,..., lk,... таку, що lk mk(k), тобто
1, якщо mk(k)=0,
lk =
0, якщо mk(k)=1, k = 1,2,3,....
Послідовності L відповідає деяка підмножина M N, а саме M={ n | ln=1, n=1,2,...}. Очевидно, підмножина M не входить у вказаний перелік M1,M2,...,Mk,..., оскільки послідовність L відрізняється від кожної з послідовностей tk принаймні в одній k-й позиції. Отже, і множина M відрізняється від кожної з множин Mk, k=1,2,.... Ця суперечність означає, що не існує переліку для елементів множини (N). Таким чином, множина (N) незліченна.
Крім того, кожній послідовності tk можна поставити у відповідність нескінченний двійковий дріб 0,m1(k)m2(k)...mk(k)..., який зображує деяке дійсне число з інтервалу (0,1) у двійковій системі числення. I навпаки, будь-яке число з інтервалу (0,1) можна однозначно записати у вигляді нескінченного двійкового дробу. Виняток становлять числа зі зліченної множини раціональних чисел, які записуються за допомогою скінченних двійкових дробів і тому можуть мати дві різні форми зображення у вигляді нескінченних двійкових дробів - з періодом 0 і періодом 1.
Кожному з таких чисел відповідають дві різні послідовності t' і t'', а отже, і два різні елементи множини (N): один - для зображення з періодом 0, другий - з періодом 1. Позначимо через T множину тих підмножин множини N, які при побудованій вище відповідності зіставляються нескінченним двійковим дробам із періодом, T (N). Тоді існує взаємно однозначна відповідність між множиною всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) і множиною (N) T. Однак, оскільки множина T зліченна, то за теоремою 1.6 маємо (N) ~ (N) T. Таким чином, множина (N), а значить і множина (A) для будь-якої зліченної множини A, мають потужність континуум.
Використана література:
1. Вища математика. Посібник / За ред. Коваленко С.І. - Харків, 2002.
2. Словник-довідник з вищої математики. - К., 2000.
Loading...

 
 

Цікаве