WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розкладність графів. Морфізми кульових структур груп і графів - Реферат

Розкладність графів. Морфізми кульових структур груп і графів - Реферат

і помітимо, що f(B(x,m)) B(f(x),m) для всіх x,m . Отже, f ? -відображення. Припустимо, що граф Gr не є локально скінченним і зафіксуємо вершину v V з нескінченною кулею B(v,1). Виберемо довільну зліченну підмножину, {yn: n } множини B(v,1){v}. Покладемо f(n)=yn , n . Оскільки f(B(x,m)) B(f(x),2) для всіх x , n , f ? -відображення .
Теорема 2. Для кожної нескінченної групи G такі твердження рівносильні
(i) B(G) B(I);
(ii) B(I) B(G);
(iii) група G не являється локально скінченною.
Доведення. (i) ==> (iii). Припустимо, що B(G) B(I) для деякої локально скінченної групи G. Зафіксуємо -відображення f: G N і виберемо скінченну підгрупу H G, таку що B(f(g),1) f(B(g,H)). Зафіксуємо довільний елемент g0 G і виберемо максимальне натуральне число m f(B(g0,H)). Виберемо g1 B(g0,H) з f(g1)=m. Оскільки H ? підгрупа, то B(g1,H) B(g0,H). Отже B(f(g1,1)) f(B(g0,H)) і m+1 f(B(g0,H)), що суперечить вибору m. Отже, група G не може бути локально скінченною.
(ii) ==> (iii). Припустимо, що B(I) B(Gr), але група G не є локально скінченною. Зафіксуємо -відображення f: N G і виберемо скінченну підгрупу H G, таку що
f(B(n,1)) B(f(n),H)
для кожного n N. Виберемо максимальне число m f -1 (B(f(1)),H). Оскільки f(m) B(f(1),H) і H ? підгрупа, то B(f(m),H)=B(f(1),H). Оскільки f(B(m,1)) B(f(m),H), то m+1 B(f(1),H), що суперечить вибору числа m.
(iii) ==> (i). Виберемо довільну нескінченну скінченно породжену підгрупу G G. Розіб'ємо G на праві суміжні класи по G і зафіксуємо деяку множину X їх представників. Таким чином, G=G X і кожен елемент g G однозначно записується у вигляді g=g x , g G , x X. Визначимо відображення f : G G за формулою f (g)=g . Очевидно, що f ? -відображення B(G) на B(G ). Ототожнимо B(G ) з кульовою структурою B(Cay) графа Келі Сау групи G. За теоремою 10.1, існує -відображення f кульової структури B(Cay) на B(I). Тоді f=f f ? -відображення B(G) на B(I).
(iii) ==> (ii). Виберемо нескінченну скінченно породжену підгрупу G G і ототожнимо її з кульовою структурою B(Cay). Застосуємо теорему 10.1.
Теорема 3. Нехай G ? нескінченна група. Тоді B(I) B(G) тоді і тільки тоді, коли група G містить нескінченну циклічну підгрупу скінченного індексу, або G ? зліченна локально скінченна група.
Доведення. Припустимо, що B(I) B(Gr) і розглянемо два випадки.
Випадок 1. Група G містить елемент g нескінченного порядку. Нехай C - підгрупа породжена елементом g, e ? одиниця групи G. Покладемо ={e,g} і помітимо, що для кожного елемента x G послідовність n є -променем в B(G). За лемою 4 C ? підгрупа скінченного індексу.
Випадок 2. Групa G періодична. Припустимо, що G не є локально скінченою і виберемо скінченну підмножину F G, що породжує нескінченну підгрупу G . Розкладемо G нa праві суміжні класи по G . Виберемо деяку множину X представників суміжних класів. Тоді G=G X і кожен елемент g G однозначно записується у вигляді g=g'x, g' G', x X. Визначимо відображення f: G G за формулою f(g)=g'. Очевидно, що f ? -відображення B(G) на B(G'). Значить, B(I) B(G'). Ототожнимо B(G') з кульовою структурою B(Cay) її графа Келі. За лемою 2. група G лінійного зросту. За теоремою Громова [21] G має нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Оскільки H ? скінченно породжена періодична нільпотентна підгрупа, то H скінченна. Отже, G' скінченна, що суперечить її вибору.
Нехай G ? локально скінченна група. За лемою 9 існує послідовність n натуральних чисел, така що B(G) ізоморфна B(n ). Позначимо через H пряму суму копій групи Z2. За лемою 7 B(H) B(n ). За лемою 10 B(I) B(H). Отже, B(I) B(G).
Припустимо, що G ? скінченне розширення нескінченної циклічної підгрупи C, породженої елементом g. Можна вважати, що підгрупа C інваріантна і x-1gx {g,g-1} для всіх елементів x G. Розкладемо G на праві суміжні класі по підгрупі C і виберемо деяку множину представників H={h1,h2,…,hn}, причому H=H-1. Для всіх i,j {1,2,..,n} виберемо a(i,j) Z так, що hi,hj ga(i,j)H. Покладемо a=max{|a(i,j)+1|: i,j {1,2,..,n}. Розглянемо граф Келі Сау групи G, визначений системою твірних H {g,g-1}. Покладемо V0={gkH: |k| a}, V1={gkH: a<|k| 2a}, V2={gkH: 2a<|k| 3a},… .
За лемою3 B(I) B(Cay).
Теорема 4. Для довільної групи G такі твердження еквівалентні
(i) B(I) B(G), B(G) B(I);
(ii) G є скінченним розширенням нескінченної циклічної групи.
Доведення випливає з теореми 2 і 3.
Задача 1. Довести, що кульова структура B(G) групи G ізоморфна кульовій структурі B(Z) групи цілих чисел тоді і тільки тоді, коли G ? скінченне розширення нескінченної циклічної групи.
Задача 2. Довести, що кульові структури B(I) і B(Z) неізоморфні.
За наведених задач випливає, що не існує групи G, для якої B(G) ізоморфна B(I).
Теорема .5. Для довільних локально скінченних груп G1, G2 справедливі такі твердження
B(G1) B(G2), B(G1) B(G2).
Доведення випливає з лем 9 і 7.
Теорема 6. Нехай G1, G2 ? зліченні локально скінченні групи. Кульові структури B(G1) i B(G2) ізоморфні тоді і тільки тоді коли справедливі наступні обидва твердження :
(i) для кожної скінченної підгрупи F G1 існує скінченна підгрупа H G2 , така що |F| ? дільник |H|;
(ii) для кожної скінченної підгрупи H G2 існує скінченна підгрупа F G1 , така що |H| ? дільник |F|;
Доведення. Виберемо послідовність F0 F1 … Fi … скінченних підгруп групи G1 таку, що G1 = n Fi , F0 ? одинична підгрупа. Покладемо ki=|Fi+1 : Fi|, n . Виберемо послідовність H0 H1 … Hi … скінченних підгруп групи G2 таку, що G2 = i Hi , H0 ? одинична підгрупа. Покладемо mi=|Hi+1 : Hi|, i . За лемою 9 B(G1), B(i ) і B(G2) B(i ) попарно ізоморфні кульові структури. Відмітимо, що кожна скінченна підгрупа групи G1 міститься в деякій підгрупі Fk і кожна скінченна підгрупа групи G2 міститься в деякій підгрупі Hm. Отже, ми можемо застосувати лему8.
Аналізуючи викладені результати природно виникає таке питання.
Нехай B1, B2 ? довільні кульові структури. Чи вірно, що B2 B1 (відповідно B2 B1) якщо B1 B2 (відповідно B1 B2 )?
Візьмемо довільну зліченну локально скінченну групу G. За теоремою 3 B(I) B(G). За теоремою 2 співвідношення B(G) B(I) невірне. Отже, відповідь на перше запитання негативна.
Розглянемо повний граф Gr з множиною вершин . Позначимо через Im граф з множиною вершин {1,2,…,m} і множиною ребер {(1,2), (2,3),…,(m-1,m)}. Приклеїмо кожен граф Im+1, m ребром (m,1) до вершини m графа Gr. Одержаний граф позначимо через Gr'. Очевидно, що B(Gr) B(Gr'), але співвідношення B(Gr') B(Gr) не вірне. Отже відповідь на друге запитання теж негативна.
Задача 3. Вказати зліченний локально скінченний граф Gr, такий що B(Gr) B(G) для кожної зліченної групи G.
Зваженим графом Grw(V,E) назвемо граф Gr(V,E) разом з функцією w: E N, що приписує кожному ребру e E його вагу w(e) N. Довжина шляху x1, x2, …, xn у зваженому графі ? це сума довжин w(x1,x2), w(x2,x3),…, w(xn-1,xn.). Покладемо d(x,x)=0, x V і d(x,y)= , якщо x,y належить різним зв'язним компонентам графа Gr. Якщо ж x,y належать одній зв'язній компоненті графа Gr, позначимо через dw(x,y) довжину найкоротшого зваженого шляху між x і y. Покладемо Bw(x,m)={y V: dw(x,y) m}, m . Кульову структуру (V, ,Bw) позначимо через B(Grw).
Задача 4. Довести, що кульова структура B(G) довільної зліченної групи G ізоморфна кульовій структурі B(Grw) деякого зваженого графа Grw.
Проблема 1. Нехай G1, G2 ? нескінченні локально скінченні групи одної потужності. Чи вірно, що B(G1) B(G2)? Чи вірно, що B(G1) B(G2)? За теоремою 5 це так, якщо групи G1, G2 зліченні.
За теоремою 6. існує рівно континуум попарно неізоморфних кульових структур зліченних локально скінченних груп.
Проблема 2. Нехай ? довільний нескінченний кардинал. Яка максимальна кількість груп потужності з попарно неізоморфними кульовими структурами?
Loading...

 
 

Цікаве