WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Збурення псевдообернених та проекційних матриць - Реферат

Збурення псевдообернених та проекційних матриць - Реферат


Реферат на тему:
Збурення псевдообернених та проекційних матриць
Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою подальшого використання при розв'язанні задач ідентифікації, нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.
Відповідно до постановки задачі про аналітичне представлення збурень псевдообернених матриць [7, 8], будемо розглядати для деякої довільної матриці її псевдообернену матрицю , збурену матрицю
, , ,
збурену псевдообернену матрицю
,
збурену проекційну матрицю
,
а також наступну проекційну матрицю
.
Функції , , мають різний вигляд в залежності від того, можна або неможливо представити вектори й у формі лінійних комбінацій векторів-стовпчиків або, відповідно, вектор-рядків матриці .
Розглянемо чотири можливих випадки залежності векторів і від елементів матриці .
Випадок 1. Вектори і лінійно незалежні з векторами-стовпцями і векторами-рядками матриці відповідно, тобто
. (2.1)
Тоді залежність визначається наступною теоремою.
Теорема 1. Якщо для матриці , , , виконуються умови (2.1), то
.
Використовуючи співвідношення (2.1) для функцій , , їхній вид визначається наслідками з теореми 1.
Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то
. (2.2)
Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно
.
Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то
. (2.3)
Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і
, ,
тобто, вектор є ортогональним до усіх векторів-стовпців матриці , а вектор - до всіх вектор-рядкам матриці , то
. (2.4)
Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і співвідношень
, , .
Випадок 2. Вектор є лінійно залежним від вектор-стовпців матриці , а вектор - лінійно незалежним від вектор-рядків матриці , тобто
, . (2.5)
Тут має місце наступна теорема [8].
Теорема 2. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.5), то
(2.6)
де
.
Наслідок 4. Якщо виконуються умови теореми 2 і вектор є ортогональним до вектор-рядків матриці , тобто , то
, (2.7)
де
. (2.8)
Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то
, (2.9)
де визначається по формулі (2.8).
Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень
.
Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то
. (2.10)
За умови вирази й у цьому випадку будуть отримані після аналізу випадку лінійної залежності і від відповідно вектор-стовпців і векторів-рядків матриці .
Випадок 3. Вектори і лінійно залежні відповідно від вектор-стовпців і векторів-рядків матриці , тобто
, (2.11)
і при цьому
. (2.12)
У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно наступної теореми.
Теорема 3. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення
, (2.13)
. (2.14)
Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то
. (2.15)
Справедливість твердження наслідку 7 перевіряється простою підстановкою формули (2.15) у вираз для матриці
,
де використані властивості
,
( відповідно до (2.11) ),
( відповідно до (2.12) ).
Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то
, (2.16)
де визначається по формулі (2.14).
При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.
Лема. Квадратна матриця при наявності умови має наступну псевдообернену матрицю
. (2.17)
Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї деякого її стовпця або рядка.
Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11)
,
але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто
. (2.18)
Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова
. (2.19)
Теорема 4. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення
, (2.20)
Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна задовольняти псевдообернена матриця.
Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то
. (2.21)
Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то
.(2.22)
Довести останню формулу можна наступним чином
.
Наслідок 11. Якщо мають місце умови теореми 2 і , , то
, (2.23)
, (2.24)
, (2.25)
, . (2.26)
Доведення наслідку 11 випливає з розбивки вектора на два ортогональні складові і застосування послідовно до матриці теореми 4, наслідку 9, а потім до матриці наслідку 4 і 5.
Розглянемо тепер збурення -матриці у формі або поповнення її новим рядком до встановлення її розмірності або вилучення з неї однієї з її рядків із зміною розмірності матриці до . В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці використовуються добре відомі формули Гревіля [5]
Нехай для матриці має місце співвідношення , тоді
, (2.27)
, (2.28)
(2.29)
якщо , то
, (2.30)
, (2.31)
. (2.32)
При вилученні з матриці останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають наступні зміни
a) при
, (2.33)
де
, (2.34)
, (2.35)
, (2.36)
, (2.37)
b) при
, (2.38)
, (2.39)
, (2.40)
, (2.41)
Слід зазначити, що умова (2.33) визначає падіння рангу в матриці при вилученні вектор-рядки , тобто
, (2.42)
а умова (2.38) - відсутність зниження рангу
, (2.43)
Наведемо доведення формули (2.35). Якщо
відома матриця, де - її останній стовпчик. Тоді, відповідно до (2.27), при одержимо
, ,
тобто, . Так як , то і, відповідно до (2.17)
,
,
.
Тут використані співвідношення
.
Подібним чином доводиться і формула (2.37).
Приведемо доведення формули (2.39). При відповідно до (2.30)
і з рівняння
одержимо
.
Формули (40) і (41) доводяться простим використанням формули (2.39).
Loading...

 
 

Цікаве