WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи теорії похибок - Реферат

Елементи теорії похибок - Реферат

робимо висновок, що число x* має шість вірних значущих цифр 3,5,3,1,1,2.
Відзначимо, що те ж саме значення можна отримати, подавши x* у вигляді
,
причому для цього достатньо взяти величини достатньо взяти з сімома вірними значущими цифрами.
Приклад 8. Оцінити похибку обчислення функції
,
якщо x=0,15 0,005, y=2,13 0,01, z=1,14 0,007.
Розв'язання. Згідно з формулою (4), для абсолютної похибки результату отримаємо
Знайдемо .
Тоді .
Приклад 9. Висота h та радіус основи циліндра виміряні з точністю до 0,5%. Яка відносна похибка при обчисленні об'єму циліндра, якщо * 3,14?
Розв'язання. . Більш точне значення =3,14159265, отже ( *)=0,16 10-2, а ( *)=0,16 10-2/3,14=0,0005=0,05%. Тоді, згідно до формули про відносну похибку добутку будемо мати
.
Приклад 10. Ребро куба виміряне з точністю до 0,02 см. дорівнює 8 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчисленні об'єму куба.
Розв'язання. позначимо сторону куба через a. Тоді , см. Застосовуючи формулу (4), будемо мати =(3 82 0,02)см3=3,84см3, а .
Приклад 11. Визначити відносну похибку числа, що записане в ЕОМ з счислення та довжиною мантиси t.
Розв'язання. Число x* можна записати в ЕОМ у вигляді
,
де ? визначає порядок числа, di - цілі, причому , . Нехай точне значення числа дорівнює
.
Тоді
.
Отже .
Якщо ж числа вводяться за правилами заокруглення, то і тоді будемо мати, що
.
3. Обернена задача теорії похибок
Обернена задача теорії похибок полягає в наступному: з якою точністю потрібно задати значення аргументів функція , щоб похибка значення функції не перевищувала заданої величини ?.
Для функції однієї змінної y=f(x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою
. (14)
Для функції декількох змінних задача розв'язується за допомогою наступних рекомендацій:
а) принцип рівних впливів, тобто вважаємо, що всі доданки рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою
; (15)
б) вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо
,
де
.
Приклад 12. Сторона квадрату дорівнює 2м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка знаходження площі не перевищувала 1см2?
Розв'язання. Позначимо сторону квадрату через x; S=x2, S'=2x. Тоді за формулою (14) отримаємо
см.
Приклад 13. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти вільний член квадратного рішення
x2-2x+lg2=0,
щоб отримати корені рівняння з чотирма вірними значущими цифрами?
Розв'язання. Для коренів рівняння (17) маємо , . Оскільки , тоді . Отже за змістом задачі потрібно визначити так, щоб , а для , щоб . Позначимо z=ln2 і розглянемо функцію . З'ясуємо, з якою точністю потрібно обчислити z* в околі точки 0,3, щоб , то використовуючи формулу (14), будемо мати
.
Звідси робимо висновок, що для знаходження кореня x1 потрібно обчислити lg2 з трьома вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,301.
Аналогічно, розглядаючи функцію отримаємо, що для знаходження кореня x2 з точністю 0,5·10-4 потрібно обчислити lg2 з чотирма вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,3010.
Приклад 14. В п'ятизначних логарифмічних таблицях дано значення десяткових логарифмів з точністю до =0,5 10-6. Оцінити величину можливої похибки при знаходженні числа за його логарифмом, якщо саме число знаходиться між 300 та400.
Розв'язання. Позначимо . За умовою задачі і потрібно знайти . Маємо . Тоді за формулою (14) будемо мати
.
отже x можна знайти принаймні з трьома вірними значущими цифрами після коми.
Задачі
Задача 1. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближених чисел:
1) 3,2523
2) 0,17153
3) 0,02103
4) 1,445
5) 0,0035392
6) 583,71
7) 0,004966
8) 315,55
9) 71,534
Задача 2. Визначити кількість вірних цифр в числі x, якщо його відносна похибка
1) x=2,7981 , (x)=0,1 10 2;
2) x=12,8370 , (x)=1%;
3) x=0,3328 , (x)=0,2 10 1;
4) x=372,8 , (x)=2%;
5) x=23,652 , (x)=0,1;
6) x=17261 , (x)=1%;
7) x=0,03575 , (x)=0,5 10 2;
8) x=0,22453 , (x)=10%;
9) x=0,000335 , (x)=0,15;
10) x=6,3495 , (x)=0,1%.
Задача 3. Визначити, яка рівність точніша:
1) 6/7=0,857 , =2,19;
2) 2/21=0,095 , =4,69;
3) 7/19=0,895 , =7,21;
4) 49/13=3,77 , =3,74.
Задача 4. Якою буде відносна похибка, якщо число наблизити числом 3,14?
Задача 5. Записати число з п'ятьма вірними значущими цифрами та визначити відносну похибку отриманого наближення.
Задача 6. Знайти з трьома вірними значущими цифрами.
Задача 7. При вимірі радіуса кола з точністю до 0,5 см, отримали число 14 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі кола.
Задача 8. Кожне ребро куба, виміряне з точністю 0,02 см виявилося рівним 15 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі куба.
Задача 9. Визначити відносну похибку обчислення повної поверхні зрізаного конуса, якщо радіуси його основ R і r та твірна ?, виміряні з точністю до 0,01 см, рівні: R=23,64 см, r=17,31 см, ?=10,21 см.
Задача 10. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1, x2,
де
1) x1=5,49 , x2=7,6;
2) x1=15,1 , x2=2,543;
3) x1=0,03 , x2=12,5.
Задача 11. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1, x2, x3,
де
1) x1=381,56 , x2=6157 , x3=0,0053;
2) x1=0,147 , x2=653 , x3=76,3;
3) x1=1,28 , x2=6,3 , x3=2,173.
Задача 12. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1 x2+ x2 x3,
де
x1=2,104 , x2=1,935 , x3=0,845.
Задача 13. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
f=x1/x2
1) x1=526,677 , x2=829;
2) x1=745,8371 , x2=336,2;
3) x1=6,3 , x2=449;
4) x1=5,684 , x2=5,032.
Задача 14. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
,
де x1=0,93 , x2=1,123.
Задача 15. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:
,
де x1=3,15 , x2=0,831 , x3=1,123.
Задача 16. Оцінити абсолютну та відносну похибки обчислення функції:
1) ,
при x =2,34 0,01, y=1,25 0,02, z=3,05 0,02;
2) ,
при x =0,757 0,001, y=21,7 0,05, z=1,84 0,05;
3) ,
при x =4 0,1, y=3 0,05, z=1 0,08;
4) ,
при x =1,02 0,01, y=2,35 0,02, z=3,04 0,01;
5) ,
при x =5,8 0,01, y=0,65 0,02, z=1,1753 0,0002;
6) ,
при x =27,51 0,001, y=21,78 0,003, z=32,5 0,06;
7) ,
при x =36,5 0,01, y=26,35 0,005, =3,14.
Задача 17. Знайти межі абсолютної та відносної похибки аргументів, які дозволяють обчислити з чотирма вірними знаками функції
,
де x1=2,10415 , x2=1,93521 , x3=0,84542.
Задача 18. Оцінити похибку в визначенікута x=60 за п'ятизначною таблицею сінусів.
Задача 18. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти значення аргументу x, щоб обчислити значення функції з точністю до 0,1 10-5?
Задача 19. З якою точністю потрібно обчислити , щоб відносна похибка обчислення коренів рівняння
не перевищувала 10-3?
Задача 20. З якою відносною похибкою треба виміряти висоту h =0.5 м та радіус основи r=10 для того, щоб відносна похибка обчислення об'єма конуса не перевищувала 0,1%?
Loading...

 
 

Цікаве