WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Елементи теорії похибок - Реферат

Елементи теорії похибок - Реферат


Реферат на тему:
Елементи теорії похибок
Під похибкою будемо розуміти величину, що характеризує точність результату. Похибки, що виникають при розв'язуванні задачі, можна поділити на три групи:
1) неусувна похибка
2) похибка методу
3) похибка обчислень
Неусувна похибка є наслідком
а) неточності вхідних даних, що входять до математичного описання задачі,
б) невідповідності математичної моделі реальній задачі (інколи цю похибку називають похибкою математичної моделі).
Похибка методу пояснюється тим, що для розв'язування математичної задачі доводиться використовувати наближені методи, оскільки отримання точного розв'язку необмеженої або неприйнятно великої кількості арифметичних операцій, а в багатьох випадках і просто неможливо.
Похибка обчислень виникає при вводі-виводі даних до ПЕОМ та при виконанні математичних операцій.
Основна задача теорії похибок - знаходження області невизначеності результату.
Розглянемо процес заокруглення чисел. Якщо число x=4,167493 і його потрібно заокруглити до п'яти десяткових знаків після коми, то будемо мати x*=4,16749. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається менше 5, то попередня цифра не змінюється. Якщо x=4,167493 потрібно заокруглити до чотирьох знаків після коми, то x*=4,1675. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює, або більше 5, то попередня цифра в числі збільшується на 1.
Зауваження. Інколи вважають, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює 5, а попередня до нього цифра парна, то вона не змінюється, якщо ж попередня цифра непарна, то вона збільшується на одиницю.
Розглянемо приклади заокруглення чисел:
x=2,8497621 x=345,453275
x*=2,849762 x*=345,45328
x*=2,84976 x*=345,4533
x*=2,8498 x*=345,453
x*=2,850 x*=345,45
x*=2,85 x*=345,5
x*=2,8 x*=345
x*=3 x*=3,5·102
x*=3·102
Визначимо, що при заокруглені цілого числа відкинуті знаки не можна заміняти нулями, а потрібно застосовувати множення на відповідний степінь 10.
1. Абсолютна та відносна похибки
Нехай x - точне значення деякої величини, а x* - її відоме наближене значення.
Абсолютною похибкою числа x* називається деяка величина ?x*, що задовольняє умові
. (1)
Відносною похибкою числа x* називається деяка величина ?x*, що задовольняє умові
. (2)
Відзначимо, що точність результату краще характеризує відносна похибка. Інформацію про абсолютну та відносну похибки можна використати для наступного представлення числа x:
Значущими цифрами числа називаються всі цифри в його запису, починаючи з першої ненульової зліва.
Наприклад:
1. x=4,570345 - всі цифри в запису цього числа значущі;
2. x=0,007614 - значущі цифри тільки 7,6,1,4;
3. x=0,03105600 - значущі цифри 3,1,0,5,6,0,0 (два останні нулі в запису числа є значущими);
4. а) x=3750000 - всі цифри значущі;
б) x=3,75·106 - значущі цифри тільки 3,7,5.
Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує ? одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.
Приклад 1. Нехай x*=14,537 і відомо, що ?(x*)=0,04. Скільки вірних значущих цифр має число x*?
Розв'язання. Маємо ?(x*)>0,5·10-2 і ?(x*)<0,5·10-1. Отже у числа x* вірними будуть значущі цифри 1,4,5, а цифри 3 і 7 - сумнівні.
Приклад 2. Нехай x*=8,677142 і ?(x*)=3·10-4. Скільки вірних значущих цифр має число x*?
Розв'язання. Оскільки ?(x*)=0,3·10-30,5·10-2. Отже у числа x* всі значущі цифри сумнівні.
2. Пряма задача теорії похибок
В деякій області G n-вимірного простору розглядається неперервно-диференційована функція y=f(x1, x2,…, xn). Припустимо, що потрібно обчислити значення цієї функції в точці (x1, x2,…, xn) G, а відомі тільки наближені значення такі, що точка , та їх похибки.
обчислимо наближене значення та оцінимо його абсолютну похибку.
Використовуючи формулу Лагранжа, будемо мати
, (3)
де
.
При практичних розрахунках окрім оцінки (3) використовують оцінку
, (4)
яку називають лінійною оцінкою похибки.
Виходячи з оцінки (4), знайдемо відносну похибку:
. (5)
Використовуючи формули (4), (5), визначимо похибки результатів математичних операцій.
1. Похибка суми.
.
Оскільки , то з (4) будемо мати
, (6)
а з (5) відповідно
. (7)
Аналогічно знаходимо похибки для інших математичних операцій.
2. Похибка різниці.
.
, (8)
. (9)
3. Похибка множення.
.
, (10)
. (11)
4. Похибка ділення.
.
, (12)
. (13)
Відзначимо, що для суми та різниці абсолютні похибки додаються, а для операцій множення та ділення складаються відносні похибки. З формули (9) видно, що якщо віднімаються два близьких числа, то відносна похибка результату може значно зрости. А при діленні на досить мале число може значно зрости абсолютна похибка.
Розглянемо деякі приклади.
Приклад 4. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки отриманих наближених чисел:
1) 0,1545; 2) 1,343; 3) -372,75.
Розв'язання.
1) x=0,1545. Заокруглення до трьох значущих цифр дає x*=0,155, тоді ?(x*)=0,0005=5·10-4, а відносна похибка
?(x*)=5 10-4/0,155 0,32 10-4.
2) x=1,343. Тоді x*=1,34, ?(x*)=| x*- x|=0,003. Відповідно відносна похибка
?(x*)=3 10-3/1,34=2,2 10-3.
3) x=-372,75. Тоді x*=-373, ?(x*)=0,25, а
?(x*)=0,25/373=6,7 10-4.
Приклад 5. Визначити кількість вірних цифр в числі x*, якщо відома його відносна похибка:
1) x*=22,351, ?(x*)=0,1;
2) x*=9,4698, ?(x*)=0,1·10-2;
3) x*=47361, ?(x*)=0,01;
Розв'язання.
1) Обчислимо абсолютну похибку ?(x*)=x*?(x*)=2,2351. Тоді будемо мати, що в числі x* вірною є тільки цифра 2, тобто одна вірна цифра.
2) Обчислимо абсолютну похибку ?(x*)=x*?(x*)=9,4698·0,1·10-2=0,0094698. Тоді в числі x* будуть вірними дві цифри 9 та 4.
3) Абсолютна похибка буде дорівнювати ?(x*)=47361·0,01=473,61. Отже в числі x* будуть вірними дві цифри 4 та 7.
Визначимо, що поведінка обчислювальної похибки залежить від правилзаокруглення та алгоритму чисельного розв'язування задачі.
Приклад 6. На гіпотетичній ЕОМ з мантисою довжини чотири знайти суму
S=0,2764+0,3944+1,475+26,46+1364
а) сумуючи від меншого доданку до більшого;
б) сумуючи від більшого доданку до меншого.
Розв'язання.
а) Маємо S2=0,2764+0,3944=0,6708, S3=S2+1,475. Вирівнюючи порядки у цих двох доданків будемо мати S3=1,475+0,671=2,146. Аналогічно далі
S4=S3+26,46=2,15+226,46=28,61,
S=S5=S4+1364=29+1393.
б) Маємо S2=1364+26,46=1364+26=1390,
S3=S2+1,475=1390+1=1391,
S4=S3+0,3944=1391,
S=S5=S4+0,2764=1391.
Враховуючи, що точне значення S=1392,6058, бачимо, що сумування потрібно проводити починаючи з менших доданків. В протилежному випадку може мати місце значна втрата значущих цифр.
Приклад 7. Нехай числа =1,417744688 та =1,414213562 задані з десятьма вірними значущими цифрами. Скільки вірних значущих цифр матиме число ?
Розв'язання. Віднімаючи, отримаємо x*=0,003531126. Позначимо =1,417744688, =1,414213562. Тоді абсолютні похибки . Абсолютна похибка різниці буде дорівнювати . Оскільки 10-9<0,5·10-8, то
Loading...

 
 

Цікаве